北师大版（2024）七年级下册第一章 整式的乘除1 同底数幂的乘法课时练习

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2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.
3.从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展.
知识点01 同底数幂的乘法性质
同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
知识点02 同底数幂的乘法的逆用公式
同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）.
题型01 同底数幂相乘
【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则求解即可得到答案；
（2）先根据同底数幂乘法法则求解，再合并同类项即可得到答案；
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)；
(3)（为大于1的整数）； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算；
（2）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（3）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
题型02 同底数幂乘法的逆用
【例题】（2023下·陕西西安·七年级校联考期末）已知，，求：的值．
【答案】
【分析】由于，所以，代入可得结论．
【详解】解：∵，，，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用．同底数幂的乘法法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求x．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）逆用同底数幂的乘法，得到，问题得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法及其逆用的知识，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（3）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则，准确计算．
题型03 用科学记数法表示数的乘法
【例题】（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作600秒可做 次运算．
【答案】
【分析】分析题意，每秒可做次运算，列出工作600秒可做的运算次数的算式；接下来进行解答，然后用科学记数法表示出来即可．
【详解】解：它工作600秒可做的运算次数为：（次），
故它工作600秒可做次运算．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃天水·八年级校联考期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米．
【答案】
【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可．
【详解】解：米；
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米．
【答案】
【分析】根据路程=速度×时间，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
（米），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法．
题型04 已知代数式的值，求式子的值
【例题】若，则m的值是________.
【答案】4
【详解】解：∵，
∴，
∴1+2m+3m＝21
解得m＝4．
故答案为：4．
【变式训练】
1．（2023下·江苏连云港·七年级统考期中）已知，则的值为 ．
【答案】16
【分析】由已知条件可得，再利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
2．（2023上·八年级课时练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解；
（2）根据同底数幂乘法运算计算，即可求解．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型05 新定义有关同底数幂的运算
【例题】（2023下·全国·七年级专题练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以
(1)根据上述规定，填空：
， ；
(2)记，，．求证：．
【答案】(1)3，0，
(2)见解析
【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；
（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：3，0；
（2）证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．
【变式训练】
1．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：
∵，∴
(1)根据上述规定，填空： ______， ______，________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：
设，则，即，
∴，即，
∴．
请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由．
【答案】(1)4；0；
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）设，，则，，根据，得出即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：4；0；．
（2）解：成立，理由如下：
设，，
则，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数幂乘法，负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则，准确计算．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即．
根据上面的规定，请解决下列问题：
(1)计算：____________，_____________；
(2)小明在计算的时候，采用了以下方法：
设，

通过以上计算，我们猜想____________．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可；
（2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
故答案为：，
（2）设，，则，
∴
∴
即
故答案为：
【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幂的有关运算．
一、单选题
1．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）下列各组式子中，是同底数幂的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】略
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，直接利用变形，即可选出答案．
【详解】解：由题可知；
∵，；
∴；
故选：B．
4．（2024下·全国·七年级假期作业）电子文件的大小常用等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
5．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法，熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”是解题关键．
【详解】解：A、①③的乘积为，不符合题意；
B、②③的乘积为，不符合题意；
C、②④的乘积为，不符合题意；
D、①④的乘积为，符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．（2023下·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
7．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可；
（2）把整体作为底，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2），
故答案为：；．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加．
8．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）若，则 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查了同底数幂的运算，先将变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
9．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习），则 ．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，可求得的值，再代入所求的式子运算即可．
【详解】解：，
，
，
解得：，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2023上·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，则 ．
【答案】80
【分析】根据定义解答即可．
【详解】设，，，
，，，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：80
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·全国·八年级专题练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，
（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（2023下·全国·七年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（3）先将4，8变形为，，再根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（5）将看作一个整体，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（6）将变形为，然后根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法法则，准确计算．
13．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式
．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的知识，掌握同底数幂相乘的运算法则是解答本题的关键．
14．（2023下·全国·七年级专题练习）(1)已知，求的值；
(2)已知，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）因为，
所以．
所以．
【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
15．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）回答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答；
（2）根据同底数幂乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以．
（2）解：因为，
所以，
所以．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．
16．（2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有
(1)若，，的值？
(2)若，，，其中，请说明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据“关联数”的定义可得，，进而求解；
（2）根据“关联数”的定义可得，，，进而可得，再根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
所以，
所以；
（2）证明：因为，，，
所以，，，
因为，
所以，即，
所以，即．
【点睛】本题是新定义题，以“关联数”的定义为载体，主要考查了乘方的运算和同底数幂的乘法，正确理解“关联数”的定义是关键．
17．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：小明给出了如下的证明：
设，则，即，
所以，即，
所以．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：．
【答案】(1)3，
(2)见解析
【分析】（1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；
（2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：3，；
（2）解：设，，则，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
18．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．
例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为．
(1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________；
②、、之间的数量关系是____________________；
(2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程．
【答案】(1)①2，4，6；②
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．
（1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案；
②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式；
（2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想．
【详解】（1）解：①∵，，，
∴，，；
故答案为：2，4，6；
②∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想．
证明：设，，则，
故可得，，
即．
故答案为：．