北师大版（2024）七年级下册1 认识三角形达标测试

这是一份北师大版（2024）七年级下册1 认识三角形达标测试，文件包含北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第01讲认识三角形9类热点题型讲练原卷版docx、北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第01讲认识三角形9类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
2. 理解并会应用三角形三边间的关系；
3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.
知识点01 三角形的概念
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
知识点02 三角形的分类
(1)按边分类可以分为； (2)按角分类可以分为
知识点03 三角形基本元素角与边的有关定理
(1)三角形的内角和等于.
(2)直接三角形两个锐角互余.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
知识点04 三角形的中线、角平分线、中线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
题型01 三角形的识别与有关概念
【例题】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ．
【答案】 CE AC ，，
【解析】略
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出的边、顶点及三个内角；
(3)以为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
【答案】(1)7个，见解析
(2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，
(3)，，
(4)，，
【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，．
（2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，．
（3）以为内角的三角形有，，．
（4）以AB为边的三角形有，，．
2．（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．
(2)写出以为内角的三角形．
(3)写出的对边．
(4)写出以线段为边的三角形．
【答案】(1)图中有个三角形，分别是，，，，，，，
(2)，
(3)在中，的对边是；在中，的对边是
(4)，
【分析】本题考查三角形定义，三角形的边和内角
（1）先找出基本三角形，再找组合图形；
（2）根据三角形的内角即可解答；
（3）根据三角形的边即可解答；
（4）根据三角形的边即可解答；
解题的关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．
【详解】（1）解：图中有个三角形，分别是，，，，，，，；
（2）含有的三角形有，；
（3）在中，的对边是；在中，的对边是；
（4）以线段为边的三角形有，．
题型02 三角形的分类
【例题】（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（ ）
A．①对，②不对B．①不对，②对C．①、②都不对D．①、②都对
【答案】B
【分析】根据三角形的分类进行判断．
【详解】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
【点睛】考查了三角形的分类，解题关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形，注：等腰三角形包括等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的知识，由图可知三角形的一个内角是锐角，另外两个角中有可能都是锐角，也有可能含有一个钝角，或含有一个直角， 接下来根据三角形的分类，确定对应的形状，从而确定结果，明确三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：当三角形的一个内角是锐角时，另外两个内角有可能都是锐角，则是锐角三角形；
另外两个内角有可能是一个锐角，一个直角，则是直角三角形；
另外两个内角有可能是一个钝角，一个锐角，则是钝角三角形；
∴该三角形可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，
故选：．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．表示等边三角形B．表示锐角三角形
C．表示等腰三角形D．表示三边都不相等的三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【详解】解：三角形根据边分类如下：
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
故选：C．
题型03 构成三角形的条件
【例题】（2024上·新疆阿克苏·八年级统考期末）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形的三边关系定理．
【详解】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（2024上·广西百色·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，12B．4，4，8C．2，3，4D．2，3，5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，正确理解三角形三边关系是解答本题的关键．三角形任何两边的和大于第三边．根据三角形任何两边的和大于第三边，可知“当较短两线段的长度之和大于最长线段的长度时，这三条线段能组成三角形．”由此即可判断答案．
【详解】A、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、因为，所以三条线段能组成三角形，符合题意；
D、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选C．
2．（2024上·河北保定·八年级统考期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，无法做成三角形，故A不符合题意；
B、，无法做成三角形，故B不符合题意；
C、，可以做成三角形，故C符合题意；
D、，无法做成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
题型04 确定第三边的取值范围
【例题】（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）两根木棒的长度分别为，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形三边的关系，根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解，掌握三角形三边的数量关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边长为，
∴，即，
∴满足条件的是，
故选：．
【变式训练】
1．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）已知一个三角形两边长分别为2，6，则第三边长可以为（ ）
A．3B．4C．7D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”进行计算即可得．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2，6，
∴第三边的边长x取值范围为：，即，
∴第三边的边长可以为7，
故选：C．
2．（2024上·重庆巴南·八年级统考期末）一木工师傅准备用三根木条做一个三角形形状的模具，现在已有两根长度分别为、的木条，选择下列长度的木条能做成三角形模具的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边长为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，找出符合条件的木条即可．熟练掌握任意三角形，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．
【详解】解：设木条的长度为，
∵已有两根长度分别为、的木条，
∴，即．
故选：D．
题型05 画三角形的高
【例题】（2023下·浙江·九年级阶段练习）下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形高的定义，即从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形高的定义进行判断．
【详解】解：线段是的高的是
故选：B．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·七年级阶段练习）在中，画出边上的高，画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E，纵观各图形，选项A、B、D都不符合边上的高线的定义，选项C符合边上的高线的定义，
故选C．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，．
（1）在中，边上的高是 ；
（2）在中，边上的高是 ．
【答案】
【解析】略
题型06 根据三角形的中线求长度
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出，，代入数据即可求解．
【详解】解：是的边上的中线，
，
又，的周长比的周长多，
，
即，
，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝ ．
【答案】6
【分析】本题主要考查三角形的面积，利用三角形的面积公式求出，可得结论．
【详解】，，
∴
，
是的中线，
．
故答案为：6．
2．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
题型07 根据三角形的中线求面积
【例题】（2024上·云南普洱·八年级统考期末）已知：如图所示，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．

【答案】//1.5
【分析】本题考查三角形中线的性质，根据等底等高的三角形面积相等，可得三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，由此求解即可．
【详解】解：点E是的中点，
，，
，
点F是的中点，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，中，点D在边上且，点E为边上中点，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式．根据，得出，即，根据E为边上中点，得出，即，整理得出，根据比的面积大2，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为边上中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵比的面积大2，
∴，
解得：．
故答案为：12．
2．（2023上·河南商丘·八年级统考期中） 如图，为的中线，为的中线．
(1)若，，求的度数．
(2)作的边上的高，若的面积为，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高；
（1）利用三角形外角的性质即可求得；
（2）过点作于，即为的边边上的高；三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出的面积．
【详解】（1）解：
（2）如图所示，过点向作垂线，设垂足为，则为的边上的高．
∵为的中线，
∴，
∵为的中线，
∴
题型08 重心的概念及有关应用
【例题】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 ．

【答案】D
【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点．
【详解】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．

故答案为：D．
【点睛】本题考查了三角形三条中线的交点（即三角形的“重心”）的画法，解题的关键是熟知三角形的三条中线相交于一点．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形 的交点．

【答案】三条中线
【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
【详解】解：因为三角形卡片质地均匀
所以小明支起的这个点是三角形的重心，即三角形三条中线的交点
故答案为：三条中线
【点睛】本题考查重心的定义．掌握相关结论是解题关键．
2．（2022上·北京朝阳·八年级校考期中）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是 ．
【答案】①
【分析】根据三角形重心的概念和性质即可判定．
【详解】解：∵用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡
∴点O是的重心，
∴线段是的三条中线，故①满足题意．
答案为①．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键．
题型09 三角形角平分线的定义
【例题】（2022上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
【答案】A
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的定义和性质，逐一进行判断即可．
【详解】A、三角形的三条中线交于一点，说法正确，符合题意；
B、三角形的角平分线是线段，原说法错误，不符合题意；
C、三角形的高所在的直线交于一点，当三角形为锐角三角形时，交点在三角形的内部，当三角形为直角三角形时，交点在直角顶点上，当三角形为钝角三角形时，交点在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；
D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原说法错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的三条重要线段．熟练掌握三角形中的中线，角平分线和高线是三条线段，三角形的中线平分三角形的面积，以及高线所在的直线交于一点，该点可能在三角形的内部，外部和三角形上，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020上·八年级课时练习）如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站．
（1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形；
（2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条；
（3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条．
【答案】（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3
【分析】（1）由于BD=CD，则点D是BC中点，AD是中线，一个三角形有三条中线，三角形的中线把三角形成面积相等的两个三角形；
（2）由于，得到AE是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线；
（3）由于，得到AF是三角形高，一个三角形有三条高．
【详解】解：（1）AD是中BC边上的中线，在中，这样的线段有3条，此时△ABD与△ACD面积相等；
（2）AE这条线段是中的角平分线，在中，这样的线段有3条；
（3）AF是中BC边上的高，在中，这样的线段有3条．
故答案为：（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3．
【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，理解好相关概念是解题关键．
2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.

(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
(2)若，且的面积为3，求出的面积.
【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线
(2)18
【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解；
（2）根据三角形中线的性质求解．
【详解】（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线．
（2）解：的面积为3，E是的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等于底边长度之比”．
一、单选题
1．（2024上·山东威海·七年级统考期末）下列选项中的三条线段，能围成一个三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形三边关系．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项逐一分析即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
A、，则，，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、，则，，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、，则，，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、，则，，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024上·重庆丰都·八年级统考期末）若某三角形的三边长分别为2，8，m，则m的值可以是（ ）
A．6B．7C．10D．11
【答案】B
【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边的和大小第三边；根据此条件，确定m的范围即可完成解答．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴满足题意；
故选：B．
3．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）如图是一个钝角，利用一个直角三角板作边上的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．
【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，
则B、C、D均不是高线．
故选：A．
4．（2024上·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，直线，，，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．108°C．117°D．135°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质得到，再由三角形外角的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
5．（2024上·江西南昌·八年级南昌市第三中学校联考期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则阴影部分的面积等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了中线与面积．熟练掌握中线与面积的关系是解题的关键．
由题意知，，，，则，然后求解即可．
【详解】解：∵D，E，F分别是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于1而小于5，再结合第三边是奇数即可求解．
【详解】解：第三边x的范围是：即．
∵第三边长是奇数，
∴第三边是3，
故答案为：3．
7．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图，是外角的平分线，，，则的度数是 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，再结合三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵平分，
∴．
又∵是的外角，
∴．
故答案为：．
8．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，根据、即可求解．
【详解】解：∵，点F在边的延长线上，
∴
∴，
∵
∴
故答案为：
9．（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴①若是的高，则可能是的中线正确，
②是的中线，则不可能是的高正确，
③若是的角平分线，则可能是的中线正确，
④若是的高，则可能是的角平分线．
故答案为①②③
10．（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到；再分别倍长，，得到，则的面积为 ；……，按此规律，倍长2022次后得到的面积为 ．
【答案】 49
【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的倍是解题的关键．
【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，

、C、C、、、、的面积都相等，
所以，，
同理，
依此类推，的面积为，
的面积为，
∴的面积．
故答案为：49；．
三、解答题
11．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图：

(1)请画出的高；
(2)请画出的中线；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作三角形的高线和中线，三角形面积计算；
（1）利用网格作交的延长线于D，即为所求；
（2）利用网格找出的中点E，连接，即为所求；
（3）利用网格特点结合三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：的高如图所示：
（2）的中线如图所示：
（3）．
12．（2023上·全国·八年级专题练习）在中，，．
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】(1)8
(2)17
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）由题意得：，
，
是整数，
；
（2）是的中线，
的周长为10，
，
，
，
的周长．
13．（2023上·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图，是的中线，是的中线．
(1)在中作边上的高．
(2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)见解析
(2)点到边的距离为
【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质：
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
的面积是，
，
，
∴．
即点到边的距离为．
14．（2023上·广东肇庆·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，．

(1)画边上的中线，并求长；
(2)画边上的高，若，求的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键
（1）把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出；
（2）是边的高，根据三角形面积=底高即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，
是边上的中线，，
点D是线段的中点，
；
（2）边上的高如图所示：
是边的高，
，
．
15．（2024上·江西南昌·八年级南昌市第三中学校联考期末）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小．
(2)若的面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）解：为中线，
，
，
．
16．（2023上·四川德阳·八年级四川省广汉中学校考阶段练习）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角，
（1）根据是的外角，，得，根据是外角的平分线得，根据是的外角，即可得；
（2）根据三角形的外角，角平分线的性质得，，即可得．
掌握角平分线的性质，三角形的外角是解题的关键．
【详解】（1）解：∵是的外角，，，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵是的外角，
∴；
（2），证明如下：
证明：∵，，
∴．
17．（2019下·甘肃庆阳·七年级统考期末）如图，为的中线，为的中线．
若，则_____ ___；
请在图中作出中边上的高；
若的面积为，则点到边的距离为多少？
【答案】（1）55°；（2）见解析；（3）4.
【分析】（1）直接利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（3）利用三角形中线的性质得出，进而借助三角形面积公式求出即可.
【详解】在△ABE中，
∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
故答案为；
如图所示：
∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线
∴
∴
∵△ABC的面积为40，BD=5，
∴
∴
【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，三角形的周长和面积等考点的理解，熟练掌握，即可解题.
18．（2024·全国·八年级假期作业）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：；
（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：；
（迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4）
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用：
【经验发展】过C作于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论；
【结论应用】连接，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系；
【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到与面积之间的关系；
【迁移应用】连接，设,即可得出,, ,进而得到．
【详解】（经验发展）如图1，过作于，

，，
，
即．
（结论应用）如图2，连接，
∵，
，
又∵，
，
，
又的面积为1，
的面积为12．
（拓展延伸）如图3，
∵是上任意一点，
∴，
∵是上任意一点，
，，
∴，即．
（迁移应用）如图4，连接，
∵是的三等分点，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，则，，，
，，
．
故答案为．
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．2．角度相等．
1．线段相等．2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．