北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第04讲 判定三角形全等之三大基本思路(3类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第04讲 思想方法专题：判定三角形全等之三大基本思路(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc19346" 【类型一 已知两边对应相等解题思路】  PAGEREF _Toc19346 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19210" 【类型二 已知两角对应相等解题思路】  PAGEREF _Toc19210 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2023" 【类型三 已知一边一角对应相等解题思路】  PAGEREF _Toc2023 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15535" 【过关训练】  PAGEREF _Toc15535 \h 9【类型一 已知两边对应相等解题思路】基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）.例题：如图，，，与△ADE全等吗？为什么？  【答案】，理由见解析．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：．理由：在和△ADE中，因为，，，所以．【点睛】本题主要考查三角形全等，牢固掌握三角形判定定理是解题关键．【变式训练】1．如图，，，．求证：．【答案】过程见详解【分析】利用三条边对应相等的两个三角形全等来证明即可．【详解】证明：∵，∴，即，又∵，，∴，【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，熟记判定定理是解题关键．2．如图，，，三点在同一直线上，，，．求证：．  【答案】见解析【分析】由平行线的性质得到，由即可证明≌．【详解】解：，，在和中，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．3．如图相交于点．(1)求证；(2)求证．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等．【详解】（1）解：在和中，∴，∴，（2）解：∵，∴，∴在和中，∴，∴，∴，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练全等三角形的判定是解题的关键．【类型二 已知两角对应相等解题思路】基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）.例题：如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．已知：．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．【详解】证明：如图，∵，∴，即，∵在和中，∴， ∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．3．如图，，，，求证：．  【答案】见解析【分析】先证明，再利用“”证明，即可作答．【详解】∵，∴，即．在与中，，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用“”证明是解题的关键．【类型三 已知一边一角对应相等解题思路】基本解题思路：（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);②找另一角对应相等(AAS或ASA).例题：如图，与相交于点E，已知，，求证：．  【答案】见解析【分析】先证，再证即可；【详解】解：由题可知，，，，，，，，即， ，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．如图，已知，，，求证：．  【答案】见解析【分析】证明即可．【详解】证明：∵，∴.在和中，∴.∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．  【答案】证明见解析【分析】利用证明，得到，即可证明．【详解】证明：∵，∴和均为直角三角形．在和中，，∴．∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．3．如图，，交于点，，．  (1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）直接根据即可求证；（2）根据三角形的内角和求出，根据得出，最后根据三角形的外角定理，即可求解．【详解】（1）证明：在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）可得，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．【过关训练】一、解答题1．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：；【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和三角形外角的性质，先证，再由证即可．【详解】解：∵且，∴，在和中，，∴．2．（2024上·云南普洱·八年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．  (1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，（1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可；（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．【详解】（1）证明：，，且，，在和中，，．（2）解：，，，，的长为5．3．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，点在一条直线上，．(1)求证：，(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据得出，即可根据求证；（2）根据全等的性质得出，再根据三角形的内角和为180度，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：由（1）可得，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出．4．（2024上·江西宜春·八年级统考期末）如图，在和中，，，．(1)求证：；(2)若，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明，再根据已知，，即可证明；．（2）先求出的长，再根据全等三角形的性质求出的长．此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．【详解】（1）证明：，，，，在和中，，；（2），，，，．5．（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质：（1）先由平行线的性质得到，进而可利用证明；（2）先求出，再由全等三角形的性质得到，则．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．6．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，点是上一点，交于点，，．    (1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用．（1）根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，，，在和中，，，；（2）解：由（1）知，，，，，，．7．（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．(1)求证：△；(2)判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)．理由见解析【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．（1）由点为的中点，得，而，，即可根据“”证明；（2）由全等三角形的性质得，即可根据“同位角相等，两直线平行”证明．【详解】（1）证明：点为的中点，，在和中，，．（2）解：，理由：，，．8．（2024上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，，，．    (1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）由得出，，再通过即可证明；（）由全等三角形的性质即可求解；此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及其应用是解题关键．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：由（）得，∴，，∴，∵，，∴．9．（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点，，，在一条直线上，，， ．(1)求证：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质；（1）由平行线的性质得，结合已知条件由即可得证；（2）由全等三角形的性质得，即可求解；掌握性质及判定方法是解题的关键．【详解】（1）证明：，，即：，，，在和中，（）．（2）解：由（1）得，，，（）；故：的长度为．10．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，在中，都是上的点，且．  (1)求证：；(2)若，求的大小．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．（1）根据证明即可；（2）由全等三角形的性质得，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：，，在和中，，．（2）解：，，，，．11．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，C，A，B，D在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，直接写出的大小．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．（1）根据，可得，再证和全等即可；（2）利用全等三角形的性质，求出，根据即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．12．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）阅读下列材料，并完成任务．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点O，过点O作，，垂足分别为E，F，求证：四边形是筝形．【答案】证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用证得，可得，再利用证得，可得，，进而可求证结论，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】证明：在和中，，，，，，，在和中，，，，，四边形是筝形．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形．