北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第05讲 全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10067" 【模型一 平移型模型】  PAGEREF _Toc10067 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29725" 【模型二 轴对称型模型】  PAGEREF _Toc29725 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30899" 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】  PAGEREF _Toc30899 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17220" 【模型四 一线三等角模型】  PAGEREF _Toc17220 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc20234" 【模型五 三垂直模型】  PAGEREF _Toc20234 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc19452" 【模型六 旋转型模型】  PAGEREF _Toc19452 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc3143" 【模型七 倍长中线模型】  PAGEREF _Toc3143 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc7733" 【模型八 截长补短模型】  PAGEREF _Toc7733 \h 30【模型一 平移型模型】例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．  【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．  2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【模型二 轴对称型模型】例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段、相交于点，，，求证：．【变式训练】1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．  2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．【模型三 四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【模型四 一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．【变式训练】1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶中，，直线经过点于于，求证∶；（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用∶如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和． 【模型五 三垂直模型】例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【模型六 旋转型模型】例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．【变式训练】1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．2．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【模型七 倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【变式训练】1．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．【模型八 截长补短模型】例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．【变式训练】1．如图，在五边形中，，平分，．  (1)求证：；(2)若，求的度数．2．（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．①证明；②若，，设，可得的取值范围是 　　；（2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．  3．（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．