北师大版数学七年级下册同步讲义第五章第05讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧（2份，原卷版+解析版）

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第05讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17578" 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】  PAGEREF _Toc17578 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11251" 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】  PAGEREF _Toc11251 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc21900" 【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】  PAGEREF _Toc21900 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17365" 【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】  PAGEREF _Toc17365 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc23404" 【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】  PAGEREF _Toc23404 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc16966" 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】  PAGEREF _Toc16966 \h 29【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含角的直角三角形的性质等知识，（1）连接，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接，∵，，∴，平分，∴，，∵于E，∴，∴；（2）∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，则．【变式训练】1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有；（2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD，，点为的中点，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．    (1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接，    是的垂直平分线，，，，是等腰三角形，为线段的中点，；（2）解：，，，，，，，，为等边三角形，，，．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持．(1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)且，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）且，理由是：如图①，连接，∵，，D为中点，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）若点分别在线段，的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接，理由如下：∵，，点D为的中点，∴，∴，在和中，∴；∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．  【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．【详解】解：如图，作交于，  ，，，，在中，，，，，，，，．【变式训练】1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．  (1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果；（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果．【详解】（1）解：如图，过A作于F，∵，，∴，，∴，即；  （2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系．2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．  (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，证明见解析；②，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；（2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．【详解】（1）解：当点E与点C重合时，，∵，∴，∴，    ∴，即与的位置关系是互相垂直，若，过点A作于点M，如图：  则，∵，∴，在与中，∴，∴，即的长为，故答案为：互相垂直；；（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：过点A作于点M、于点N，如图：      则，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在与中，，∴，∴，∴；②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下：在上截取，连接，如图：      ∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，    ∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．  (1)求证：是等腰三角形(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得，由得即可求证；（2）先求出，根据“三线合一”得，即可求解．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴由（1）得：∵是等腰三角形，是的中点．∴∴．【变式训练】1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，．(1)如图1，求证：是等腰三角形；(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案；（2）利用角平分线的定义、平行线性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案．【详解】（1）证明：是的平分线，，，，，，即是等腰三角形；（2）解：，，，又平分，，由（1）可知，，，，，在中，，，，又，，．2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．  (1)当，则___________；(2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)，见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得出答案；（2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证．【详解】（1）解：∵，∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB，∵和的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO，∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC，∴，∴，故答案为：8；（2），理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴．【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．   (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________；(2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)(3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案；（2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案；（3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到．【详解】（1）解：，理由如下：是等边三角形，． ∵点为中点，，，，， ，，又，． 故答案为：；（2）解：，理由如下：如图，过点作，交于点，   则， ，是等边三角形， ，，，，在和中，，，，又，；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点作，交的延长线于点，  则，，是等边三角形， ，，，，，，，，在和中，，，，又，．【变式训练】1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；（1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；（2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论．【详解】（1）解：∵，为等边三角形，∴，∵点E是线段的中点，∴，，，∵，；（2）解：，理由如下：过点E作交于点F，如图，∵，∴，，∵，，，，∴，，，在和中，∵，∴，，∵，．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．(1)【感知】如图1，当点E为的中点时，则线段与的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E作，交于点F．）(3)【拓展】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，则的长是______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)5【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；（2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论；（3）过点E作，交的延长线于点F，同（2）得是等边三角形，，则，，即可得出答案．【详解】（1），理由如下：∵，∴，∵是等边三角形，∴，∵点E为的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（2），理由如下：过点E作，交于点F，则，∵是等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）过点E作，交于点F，如图3所示：同（2）得：是等边三角形，，∴，∵，∴．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用、的移动速度相同，得到，利用线段间的关系即可推出；（2）过点P作，交于点F，利用等边对等角结合已知可证，即可得出结论；（3）过点P作，交于点F，由（2）得，可知为等腰三角形，结合，可得出即可得出为定值．【详解】（1）证明：、的移动速度相同，，，；（2）如图，过点P作，交于点F，，，，，，，由（1）得，，在与中，，，；（3）解：为定值5，理由如下：如图，过点P作，交于点F，由（2）得：，为等腰三角形，，，由（2）得，，，为定值5．【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：过点C作交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在上截取，使得，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵是的一个外角，∴，∴，∴，∴∵，∴；（2）在上截取，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为16．【变式训练】1．在中，，点在边上，，点在线段上，．(1)如图，若点与点重合，则______；(2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论；（3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论．【详解】（1）解：在中，，，则，，，，，故答案为：；（2）解：，理由如下：，，，，，， ，；（3）解：，理由如下：如图，在上截取，连接，则，，在和中，，≌，，，是的外角，，，．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点．(1)写出图1中与相等的角，______；(2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明；(3)如图2，若，求的长度．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案；（2）利用证明，可得，，即可得出答案；（3）延长交的延长线于，过点作交的延长线于，可证得则，设，再根据等腰三角形性质可得，建立方程求解即可得出答案.【详解】（1），，．，故答案为：；（2），理由如下，，，，，在和中，，，．，即；（3）如图2，延长交的延长线于，过点作交的延长线于，，则，，，，，，，，在和中，，，设，，，，．，，，．，解得：，，故的长度为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，全等三角形的 性质与判定，构造全等三角形是解题的关键．