北师大版（2024）七年级下册3 简单的轴对称图形练习

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1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)
知识点01 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）
图形：如下所示；
符号：在中，AB＝AC，
知识点02 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
题型01 等腰三角形两腰相等求解
【例题】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
【答案】C
【分析】题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形；
若4是底边长，则三角形的三边长为4，8，8，能组成三角形，周长为．
故选C．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则该三角形周长为 ．
【答案】/17厘米
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长时，解答出即可．
【详解】根据题意，
①当腰长为时，
∵，
不能构成三角形；
②当腰长为时，
∵，
能构成三角形，
∴周长．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，是一道基础题．注意还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k.
【详解】解：当腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
题型02 根据等边对等角求角度
【例题】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据可得，再根据等腰三角形的性质即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024·北京·一模）如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则 °．
【答案】30
【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出底角，再根据，求出，最后利用外角的性质即可得解．掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
∵以点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：30．
2．（23-24八年级下·云南文山·阶段练习）如图，已知，，，，求的度数为 °．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，同理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
故答案为：．
题型03 根据等边对等角证明
【例题】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，是等腰三角形，点，分别在腰，上，且，连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，根据条件得出三角形全等，从而即可证明，证明线段转化成三角形全等并找到相应的条件是解题的关键．
【详解】证明：是等腰三角形
在与中
．
【变式训练】
1．（2024·江苏南京·一模）如图，在和中，，，，的延长线相交于点B、，的延长线相交于点C．求证．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解ASA证明三角形全等的判定方法是解题关键．
根据ASA证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中
∴
∴，
∴，即．
2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是三角形的中线，点F在中线上，且，连接并延长交于点E，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角，解题的关键作辅助线构造．
延长到，使，易证，则，又，则，再结合对顶角相等、等边对等角，等量代换可得结果．
【详解】延长到，使，连结，
是中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
题型04 根据三线合一求解
【例题】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在三角形框架中，，是连接点与中点的支架．若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质，得出是的平分线，即可作答．
【详解】解：∵，是连接点与中点的支架．
∴是等腰三角形，
∴是的平分线，
∴
故答案为：
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ．
【答案】20°/20度
【分析】
本题考查等边对等角，三线合一．利用等边对等角求出度数，三线合一，得到，利用，进行求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20°．
2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在等腰中，，是的高，，分别是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由等腰三角形的性质得到垂直平分，，则，故当三点共线且时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，再运用等面积法求的长度即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在等腰中，，是的高，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：，
∴的最小值为
故答案为：．
题型05 根据三线合一证明
【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，E为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得；
（2）由“”可证，可得．
【详解】（1）证明： ，为线段的中点，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后用三角形内角和定理得到，等量代换即可得到．
【详解】（1）∵，是边上的中线，
∴是边上的高线，
∴；
（2）如图所示，设与交于点F，
∵，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，．
(1)如图，于点，于点，求证：；
(2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由垂直可得，，又由可得，利用即可求证；
（）过点作与点，同理（）可证得，得到，再根据等腰三角形三线合一可得；
本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵于点，于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：过点作与点，
同理（）可证得，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
题型06 根据等边三角形的性质求解
【例题】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，，则
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得，
∴当运动时间为2秒时，是等边三角形．
故答案为：2．
2．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）在等边三角形中，，点P在边上．若，则的长为 ．
【答案】3或5
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论思想的运用；由等边三角形的性质和勾股定理，可求出，再分两种情况讨论，由勾股定理分别求值即可．
【详解】解：过A作于D，
是等边三角形，，
，
在中，，
如图1，当P在线段上时，

在中， ，
，
如图2，当P在线段上时，

在中， ，
，
综上所述，的长为3或5，
故答案为：3或5.
题型07 根据等边三角形的性质证明
【例题】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，为等边三角形，点E、F 分别在边上，，，与相交于点D，．
(1)求证：．
(2)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）由是等边三角形可得出，又，可得，再根据证明得出结论；
（2）由（1）知得,又，可得的长度
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又，
∴，即，
在和中，
，
∴
（2）解：由（1）知，，且,
∴，
又
∴
【变式训练】
1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中．
(1)求证：；
(2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；
(3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得；
（3）如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
点在线段上，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作于，于，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知是等边三角形，为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．
(1)如图1，当点在边上时，连接，此时，，之间的数量关系为______，______；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；
(3)如图3，当点在射线上运动时，取的中点，连接，当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)不成立，，证明见解析
(3)的度数为．
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质与勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，证明，可得，，即可得到，，之间的数量关系；
（2）同（1）中原理证明，可得，，之间新的数量关系；
（3）连接，取的中点，连接，根据，证明，则可得，当时，取最小值，则此时也去最小值，即可求得此时的值，见手拉手模型则考虑证全等，将转换到中等量的中线看最小值，是解题的关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，即，
在与中，
，
，
，，
，
即，
故答案为：；；
（2）解：不成立，，证明如下：
证明：是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，即，
在与中，
，
，
，
，
即；
（3）解：如图，连接，取的中点，连接，
根据（1）中原理，可得，
，，
点是的中点，点是的中点，
，
在与中，
，
，
，
当时，取最小值，
此时也取得最小值，
此时，
故当的值最小时，的度数为．
一、单选题
1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．15B．12C．12或15D．9
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：若3为腰长，6为底边长，
由于，则三角形不存在；
若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：A
2．（2024·甘肃天水·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可．
【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形，
∴当是底角时，顶角；
当是顶角时，符合题意；
综上所述，等腰三角形的顶角度数为或．
故选D．
3．（2024年安徽省名校之约中考第一次联考数学试题）如图，，点E为直线上方一点，连接，，．若，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握等边对等角、利用平行线的性质计算几何图中角度．
由两直线平行同旁内角互补得出，由等边对等角求出，再由，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
4．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（ ）

A．18B．19C．20D．21
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长．
【详解】解：与的平分线交于点，
，，
又，
，，
，，
，，
的周长是13，
，
，
即，
又，
的周长为：．
故选：B
5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（ ）
A．10B．16C．10或16D．10或16或
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t．
【详解】解：中，，，，
由勾股定理得：，
∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒，
∴，
①时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形．
故选：D．
二、填空题
6．（22-23八年级下·河南郑州·期中）已知等腰三角形的两边长为，且满足，则三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边性质，由得到，，即可得，，分两种情况：是腰长和是底边长，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
当是腰长时，三角形的三边分别为，
∵，
∴不能组成三角形；
当是底边长时，三角形的三边分别为，
能组成三角形，周长，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）一个等腰三角形的周长是17，已知它的一边长是5，则另外两边的长分别是 ．
【答案】6，6或5，7
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【详解】解：①当等腰三角形的底长为5时，腰长；
则等腰三角形的三边长为5、6、6，能构成三角形．
②当等腰三角形的腰长为5时，底长；
则等腰三角形的三边长为5、5、7，能构成三角形．
故等腰三角形另外两边的长为6，6或5，7．
故答案为：6，6或5，7．
8．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，已知直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画孤，分别交直线于两点，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查求角度问题，涉及到尺规作图、等腰三角形性质、平行线的性质，理解尺规作图是解决问题的关键．根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，再结合平行线的性质得到，最后列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据作图可知，，
，
直线，
，
，
故答案为：．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，和都是顶角为的等腰三角形，，、分别是两个等腰三角形的底边，点B、D、E三点恰好落在一条直线上，若 度．
【答案】18
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得,,再根据三角形外角的性质可得，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵和都是顶角为45°的等腰三角形，
∴,,
∵，
∴,
∴．
故答案为：18．
10．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则 ．
【答案】/1.5
【分析】
本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．
过P作，，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：过P作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______；
（2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（）利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证；
（2）在上截取，证明，可得出，，则可得出；
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的的判定应性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（）∵，，
∴，
故答案为：；
（），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
12．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，平分．以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理：
（1）先由等腰三角形的性质得到，再证明，即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由三线合一定理得到，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵在中，，平分，
∴，
由作图方法可知，
∴，
∴；
（2）解∵，，
∴，
由作图得：．
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
13．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．

(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）先由等腰直角三角形的性质得到，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则；
（2）先由三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出；
（2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，点是的中点，
∴，，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，
∴．
15．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，，均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连接，，．
(1)求证：；
(2)若线段，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练证明是解本题的关键；
（1）证明，再结合等边三角形的性质可得结论；
（2）证明，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，
，
∵，，
∴，
在和中，，，，
∴；
（2）∵（已证），，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴．
16．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，在等边中，点D为射线上一点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．
(1)如图1，当点D是边中点时，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，当动点D在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)；
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质；
（1）根据等边中点D是边中点得到，根据是等边三角形得到，即可得到答案；
（2）根据是等边三角形，得到，，根据是等边三角形得到，，即可得到，即可证明即可得到证明；
（3）先证明，结合（2）即可得到答案；
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵当点D是边中点
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：①当点D在上时（点D与点B不重合）
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，，，
∴， 即，
在和中
∵，
∴，
∴；
②当点D在的延长线上时，同理可证，
综上，；
（3）解：∵， ，
∴
在和中
∵，
∴，

又由（2）知，，
∴，
∴．