初中数学北师大版（2024）八年级上册3 勾股定理的应用课后复习题

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2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
知识点01 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
题型01 求梯子滑落高度
【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．

(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．
(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．
【答案】(1)
(2)梯子底端外移不是，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案．
【详解】（1）解：，，，
，
此时梯子的顶端距地面的高度为；
（2）由图可知梯子的顶端沿墙下滑后，
，，
，
，
梯子底端外移不是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
【变式1】（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯斜靠在建筑物的侧墙上，长7米．
(1)求梯子上端到墙的底端E的距离的长；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？
【答案】(1)的长米；
(2)梯脚B将外移8米．
【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长即可；
（2）首先在中利用勾股定理求出的长，然后再计算出的长即可．
【详解】（1）解：由题意得：米，米，
由，
∴（米）；
（2）∵，，
∴；
∵，
∴（米），
∴（米）．
∴梯脚B将外移8米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握正确运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙，长为，为．
(1)求梯子的长．
(2)梯子的顶端A沿墙下滑到点C，梯子底端B外移到点D，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）由，可得，利用勾股定理求得，再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
在中，，
答：梯子的长为；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，正确利用勾股定理是解题的关键．
题型02 求旗杆高度
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度．
【答案】攀岩墙的高为米
【分析】根据题意设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长即可．
【详解】解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，
∵在中，米，
∴由勾股定理得：，
∴，解得，
∴攀岩墙的高为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键．
【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得的长度为米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
（3）牵线放风筝的小明身高米，求风筝的高度．
【答案】风筝的高度为米．
【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度．
【详解】解：在中，由勾股定理，得 (米)．
∴ (米)．
答：风筝的高度为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】(1)米
(2)2米
【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长．
（2）根据勾股定理可求，即可求的长．
【详解】（1）如图：
作，，
在和中，，
，
，
即
，
，
则，
所以，，
所以
（2）由勾股定理得，
．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
题型03 求小鸟飞行距离
【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．
【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作，则四边形是矩形，故可得的长度，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
其中米，米，米，
过点D作，则四边形是矩形，
∴米，米，
∴米，
在中，米，
答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．
【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．
【答案】/米
【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过D点作，垂足为E，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴
∴（负值舍去），
∴小鸟飞行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【答案】小鸟至少飞行了10米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，
过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在中，（米），
答：小鸟至少飞行了10米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
题型04 求大树折断前的高度
【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？

【答案】尺
【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，
解得：，
答：折断处离地面尺高．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？

【答案】5米
【分析】设大树在离地米处折断，则折断处离树尖的距离为米，再根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设大树在离地米处折断，
由勾股定理得：，
解得．
答：大树在离地5米的位置折断．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，
（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
∵，
∴，
又∵米，
∴，
∴米；
（2）解：∵D点距地面米，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图
题型05 解决水杯中筷子问题
【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在中求出即可．
【详解】解：如图，

当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，
此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即，
，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，
吸管长度，
此时，
所以．
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺
【答案】B
【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可．
【详解】解: 设水深为h尺，则芦苇高为尺，
由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，
根据勾股定理得：，
解得，
即水深为12尺，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．
【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即，
h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，
由勾股定理得，杯子的斜边长度，即，
h的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．
题型06 解决航海问题
【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为____海里．
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意，得，，根据小岛在轮船的北偏东方向上，则，，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．
【详解】过点作于点，
∴，，
∵（海里），
∴（海里），
∵小岛在轮船的北偏东方向上，
∴，
∴，
∴（海里），
∴（海里），
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．
【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？

【答案】两船相距100海里．
【分析】先证明，求解，，再利用勾股定理作答即可．
【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，
∴，，，，
∴，
∴，
∴此时两船相距100海里．
【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
【答案】(1)
(2)C港口在A港口的北偏东的方向上
【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
（2）由（1）可得，求出即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
根据勾股定理，知．
答：A、C两港之间的距离是；
（2）由（1）知，是等腰直角三角形，且，
∴
∴,
∴C港口在A港口的北偏东的方向上
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到．
题型07 求台阶上地毯长度
【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65B．85C．90D．150
【答案】B
【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解： 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．
【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为，楼梯的宽的和为，再把的长相加即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为：米，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．
【答案】1020
【分析】根据题意，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，继而求解即可．
【详解】在中，由勾股定理得，
由题意得，地毯的总长度为，
∴地毯的面积为，
∴地毯的总价为元，
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
题型08 判断汽车是否超速
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)没有超速．
【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】（1）解：在中，，；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
题型09 判断是否受台风影响
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风影响，见解析
(2)8小时
【分析】（1）过C作交于点D，根据勾股定理计算出，即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边即可得到答案；
【详解】（1）解：过C作交于点D，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∵，距离台风中心及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（2）解：以C为圆心为半径画圆交于点E、F如图所示，可得台风在范围内有影响，
根据勾股定理可得，
，
∴，
∵台风的速度为千米/小时，
∴（小时），
∴台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点睛】本题考查勾股定理实际生活的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？
【答案】(1)6小时
(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；
（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得，
（小时）；
答：台风中心经过6小时从B点移到D点；
（2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）．
又台风到点D的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论；
（2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下：
如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形，．
，
，
即，
，
环卫车周围以内为受噪声影响区域，
学校会受噪声影响．
（2）解：如图，当，时，正好影响学校，
，
，
环卫车噪声影响该学校持续的时间有，
环卫车的行驶速度为：，
答：环卫车的行驶速度为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
题型10 求最短路径
【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高是5米）
【答案】梯子最短要13米
【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果．
【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接，如图所示：
根据两点之间线段最短，梯子最短是：
（米），
答：梯子最短是13米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体中，点E是棱的中点，已知cm，cm，cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．
【答案】
【分析】将面沿展开，将面沿展开，将面沿展开，分别计算出后比较大小即可．
【详解】解：将面沿展开，如图所示：
∴
将面沿展开，如图所示：
∴
将面沿展开，如图所示：
∴
∵
∴小虫爬行的最短距离为．
【点睛】本题主要考查了根据两点间线段最短的理解和掌握，解题关键是分情况讨论，综合运用勾股定理进行计算．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；
(2)两点之间线段最短；
(3)120cm，50cm；
(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；
（4）根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．
故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt中，
由勾股定理可得：cm，
故答案为：130cm．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
题型11 选址使到两地距离相等
【典例1】（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处，于点A，于点B，已知，问：图书室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】距A处的地方
【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，
则千米；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
答：图书室E应建在距A点10千米处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理建立方程是本题的关键．
【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处．
【答案】千米
【分析】设千米，则千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个三角形的斜边相等求出的长即可．
【详解】设千米，则千米，
因为，
所以，
解得：千米，
经检验是原方程的解，
故超市应建在离处千米处．
【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点和点处，于，于，已知，，，，试问，图书室应该建在距点多少知处．才能使它到两所学校的距离相等？
【答案】图书室应该建在距点处，才能使它到两所学校的距离相等
【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】由题意可得：设，则．
，，，
，
，
解得：．
答：图书室应该建在距点处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出是解题的关键．
一、选择题
1．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，勾股定理求出的长，利用求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，，

∴，
∴这棵大树在折断前的高度为；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）

A．小时B．2小时C．小时D．4小时
【答案】C
【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可．
【详解】，
连接，

中，
巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键．
3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．
【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为，
∴笔筒的对角线长：，
∵签字笔长，
∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）

A．mB．mC．6mD．m
【答案】A
【分析】设绳索的长是m，则m，得到（m），由勾股定理得，求出的值，即可得到的长．
【详解】设绳索的长是m，则m
∵m，m,
∴（m）
∵
∴
∴
∴m
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是由勾股定理列出关于的方程．
5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图1，

由题意可得：，
在中，根据勾股定理得：；
将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图2，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得：，
将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，如图3，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
则需要爬行的最短距离是．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
二、填空题
6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是______ ．
【答案】
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【详解】由题意知，，，
在中，由勾股定理得，
，
即地面钢缆到电线杆底部的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．
7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米

【答案】
【分析】根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，

由题意可得，米，米，
，
米，
即小鸟至少飞行米，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
【答案】75
【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒．
【答案】9
【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．
【详解】解：过点作，
，米，
米，
在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
千米/小时米/秒，
影响时间应是：秒．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
10．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

【答案】10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
三、解答题
11．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
【答案】15米
【分析】设树高米，求得的长，再根据求得的长度，然后在直角中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：设树高米，则米，
由题意得：米，
∴米，
∵树垂直于地面，
∴在直角中由勾股定理可得：，
∴，
化简得：，
解得：，
∴树高为15米；
【点睛】本题考查了线段的和差，勾股定理等知识；利用勾股定理建立方程是解题关键．
12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？

【答案】距A点10km处
【分析】根据土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，在和中，设，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】解：使得，两村到站的距离相等，
．
于，于，
，
，，
，
设，则．
，，
，
解得：，
．
答：站应建在离站处．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．
13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】(1)要，理由见解析
(2)
【分析】（1）由A点向作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得的长，与200比较即可得结论；
（2）上分别取D、G，则是等腰三角形，由，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由A点向作垂线，垂足为C，
在中，，，则，
因为，所以A城要受台风影响；
（2）设上点D，，则还有一点G，有．
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是的垂直平分线，，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：（h）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．
14．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可；
（2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以为斜边的直角，
由（1）可知：，
由题意可得：，，，
∴，，，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键．
15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一架长10米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
【答案】(1)8米；
(2)米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵米，米，
梯子距离地面的高度米，
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）解：∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度米，
∴米，
∴米，即下端滑行了米．
答：梯子底端将向左滑动了米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
16．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)男孩需向右移动的距离为米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
（2）解：连接，则点、、三点共线，
在中，（米，
（米，
在中，（米，
，
（米，
男孩需向右移动的距离为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
17．（2023·江苏·八年级假期作业）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】(1)村庄能听到宣传，理由详见解析
(2)村庄总共能听到4分钟的宣传
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP=AQ=1000米，AB=800米，
∴BP=BQ==600（米），
∴PQ=1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟），
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．
【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；
（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；
（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．
【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，
∵正方体的棱长为5cm，
∴AC=10，CC1=5，
∴AC1==cm．
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
（2）分两种情况：
①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，
∴AC1==cm，
②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，
∴AC1==cm，
∵＜，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
（3）圆柱侧面展开图如图所示：
∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，
∴BC=5，AB=5，
∴AC==cm，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．