初中北师大版（2024）2 平行四边形的判定课时训练

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1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点)
知识点01 平行四边形的判定定理
【知识点】
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注： = 1 \* GB3 ①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
= 2 \* GB3 ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的.
题型01 判断能否构成平行四边形
【例题】（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定．解题的关键是掌握平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B．，，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C．，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D．，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列四个选项中不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，结合选项逐项分析，即可求解．
【详解】解：A. ∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B. 根据，，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
C. ∵，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D. ∵，
∴，
又
∴
∴
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024·河北石家庄·一模）如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （ ）
A．过点D作与交于点C
B．在下方作与交于点C， 使
C．在上截取， 使， 连接
D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接
【答案】D
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
题型02 添一个条件成为平行四边形
【例题】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】添加条件为：，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形为平行四边形解题即可．
【详解】解：由于对角线互相平分的四边形为平行四边形，
，
故添加条件为：．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，是边上一点，连接并延长，与的延长线相交于点．请你再添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
题型03 证明四边形是平行四边形
【例题】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接，交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．

【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
由已知条件和平行线的性质得出，，由证明，得出对应边相等，即可证出四边形是平行四边形．
【详解】证明：为中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先利用平行四边形的性质得，，又然后，从而可得，由平行四边形的判定即可得出结论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵
∴四边形是平行四边形．
题型04 利用平行四边形的判定和性质求解
【例题】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，平分，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
（1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形；
（2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，
，
，
,
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案；
（2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，是边的中点，
，，
四边形是平行四边形
（2）解：过点作于点，

由（1）得：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
在中，，
，
又是边的中点，
，
，
在中，，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．
题型05 利用平行四边形的判定和性质证明
【例题】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．
(1)求证：；
(2)连接、，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可．
（2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
．
【变式训练】
1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．
(1)求证：．
(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明；
（2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解；
（2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解；
（3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：；
（3），
，
即，
中，，
，
，
，
．
题型06 平行四边形的判定和性质的应用
【例题】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．

问题探究：
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）证，得，， 再证，即可得出结论；
（）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论；
（）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：由（）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过作于，则，

由（）可知，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，的周长为24，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定可得，，根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行四边形的性质可得，推得，设，则，根据的周长列式求得，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
设，则，
∴，．
∵的周长为，
∴，
在中，，
∴．
解得：，（不合题意，舍去）
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
2．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．

(1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，若，，，则______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）由，，可得，再证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（3）由直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，则，进而求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作，

（2）证明：如图，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（3）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
由（2）知，，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
3．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则 ， ．
(2)当时，求的长；
(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)3
【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
（1）由线段和差关系可求解；
（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长；
（3）由""可证，可得；
（4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得．
【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
（2）当时，
是等边三角形，
，
解得∶，
；
（3），理由如下∶
，
，
又，
，
；
（4）的长度不变．
连接，如图：
，
，且
四边形是平行四边形
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方交于点D，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先判断出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：D．
2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
；
；
∴四边形是平行四边形，故B正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故C正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又∵，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故D正确；
添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形，
故选：A．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．10个B．9个C．8个D．7个
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵过点作直线、分别平行于、，
∴，，
∴四边形均为平行四边形，
∴加上共9个．
故选B．
4．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为（ ）秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形
A．1B．C．1或D．或2
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
分别从当运动到和之间、当运动到和之间去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵是的中点，
由题意可知：，则，
①当运动到和之间，设运动时间为，
∴，
解得：；
②当运动到和之间，设运动时间为，
解得：，
∴当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，为顶点的四边形是平行四边形，
故选：C．
二、填空题
6．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．

【答案】
【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：添加条件，
四边形是平行四边形，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．
7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，，，，，若，则DC的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质．过点C作于F，过点A作于H，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由是等腰直角三角形，可得，然后根据直角三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：过点C作于F，过点A作于H，

∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和平行四边形的判定，根据平行四边形的面积公式即可作答．
【详解】
又，
四边形是平行四边形
四边形的面积：
故答案为：．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
先根据平行四边形的判定与性质可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
10．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可．
【详解】解：如图1，四边形是平行四边形，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
如图2，四边形是平行四边形，作于点G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点F与点G重合，
∴，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
三、解答题
11．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，相交于点，点，分别为，的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为，直接写出四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由平行四边形的性质得，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论；
本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵的面积为，
∴，
∵点，分别为，的中点，，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
12．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图：，和均为直线同侧的等边三角形，点P在内．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若中，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可；
（2）过作垂直的延长线于，依据，，即可得出四边形是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得，求出，再由的直角三角形性质求出的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图所示，过作垂直的延长线于，
，，，
，
又，
，
，而
，
又
．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题．
13．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；
（）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点为中点，延长相交于点，连结．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的性质与判定，熟练其性质与判定定理通过条件作出辅助线逐步推理是解题关键．
（1）通过证明，即可推出平行且相等于，即得证；
（2）利用平行四边形的性质求得，得到是等腰三角形，推出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，，
，
又点为的中点，
，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵在中，，
∴，，
∴，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．（2024九年级下·浙江·专题练习）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】（1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论；
（2）先由证得，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题关键．
17．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．

(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）由证明，即可得出；
（2）先证明四边形是平行四边形，得出，，证出，即可得出四边形为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得出，，，证出，得出，证出，由勾股定理求出，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，如果，求的周长．
(3)如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度．
【答案】(1)
(2)24
(3)28
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，再根据平行线的性质得出角之间的关系，再根据角平分线的意义求解即可；
（2）根据角平分线的意义和平行四边形的性质进而得出，，再由勾股定理得出长度，进而求解即可；
（3）在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q，先证明四边形是平行四边形，继而得出，再证明，继而得出，再利用含30度的直角三角形的性质及勾股定理求出长度，再由平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∴，
∴
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为；
（3）如图，在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的意义等，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．