北师大版数学九上同步讲义第4章 图形的相似全章复习攻略与检测卷（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学九上同步讲义第4章 图形的相似全章复习攻略与检测卷（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学九上同步讲义第4章图形的相似全章复习攻略与检测卷原卷版docx、北师大版数学九上同步讲义第4章图形的相似全章复习攻略与检测卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第4章 图形的相似全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习六种方法【3个概念】 1.成比例线段2.相似多边形3.位似图形【2个性质】 1.比例的性质2.相似三角形的性质【1个判定】相似三角形的判定【1个作图】 作一个图形的位似图形【1个应用】 相似三角形的应用【2种思想】 1.分类讨论思想2.转化思想【检测卷】 【倍速学习六种方法】【3个概念】 1.成比例线段【例1】下列四组线段中，成比例线段的是（    ）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可解：A．∵，∴ 4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；B．∵ ，∴ 3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；C．∵，∴ 4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；D．∵ ，∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．故选：D．【点拨】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．2.相似多边形【例2】下列各组中两个图形不相似的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A、两个三角形相似，相似比为4：3．本选项不符合题意；B、两个图形不相似，对应边不成比例．本选项符合题意．C、两个矩形相似，相似比为3：2．本选项不符合题意；D、两个正方形相似．本选项不符合题意；故选：B．【变式】如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　 　．【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周长为2+2+4+2＝8+2，故答案为：8+2．3.位似图形【例3】（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（    ）A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比【答案】C【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可．【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误；B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误；C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确；D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误；故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．【变式】（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（    ）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，故选：D．【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．【2个性质】 1.比例的性质【例4】设线段、、满足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得．【总结】考查比例的等比性质的应用．2.相似三角形的性质【例5】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．ABCDEFGHP【答案】24．【解析】设正方形的边长为， ，． ，， 正方形的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．【变式1】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长．ABCDP【答案】．【解析】解：梯形，，，，即，，．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【变式2】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值．ABCDE【答案】．【解析】解：，，，，，，．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【1个判定】相似三角形的判定【例6】（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线， 因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1， ∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°， AD＝B1D， 综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线 ∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB， 又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴ ∵DE∥AC， ∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF， ∴ 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．【1个作图】 作一个图形的位似图形【例7】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的12×12方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为−4,2和0,0．△ABC顶点都在格点上，将△ABC的三边分别扩大得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形．  (1)画出△ABC向下平移3个单位后的三角形△A2B2C2；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的三角形△A3B3C3；(3)直接写出点P的坐标．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)(−4,−3)．【分析】（1）将A、B、C三点分别向下平移3个单位，得到A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到△A2B2C2；（2））作出A、B分别关于原点O的对称点A3、B3，顺次连接A3、B3、O，即可得到△A3B3C3；（3）连接A1A、B1B并延长，它们的交点就是P点．  【详解】（1）如图△A2B2C2即为所求；（2）如图△A3B3C3即为所求；（3）连接A1A、B1B并延长，交点为(−4,−3)，则P点的坐标为(−4,−3)．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换：平移变换／旋转变换和位似变换．正确的找到变换以后的对应点是解题的关键．【1个应用】 相似三角形的应用【例8】如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．【答案】古塔的高度是米．【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．【详解】∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，∴，即，解得AH=14m，∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，答：古塔的高度是15.6米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．【变式1】（2022秋·九年级课时练习）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）【答案】教学楼AB的高度为16米【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB．【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴Rt△AEB∽Rt△CED，∴，即 解得：AB＝16（米）．答：教学楼AB的高度为16米．【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？【答案】这棵树高．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高．【详解】过点作交于点则，，即答：这棵树高．【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解．【变式3】（2022秋·九年级课时练习）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．【答案】塔高AB为24m.【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB为24m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．【3种思想】 1.分类讨论思想【例9】已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．ABCDPABCD（备用图）满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．∵ AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC，∴ ∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CE = AB = 3．∵ AD // BC，∴ ∠A +∠ABC = 180°．即得 ∠A = 90°．又∵ ∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC，∴ ∠ADP =∠DCE．又由 ∠A =∠DEC = 90°，得 △APD∽△DCE． ∴ ．于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3．…………………………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得 ，．…………………………………………（1分）于是，在Rt△PDC中，得 ． （1分）（2）在Rt△APD中，由 AD = 2，AP = x，得 ．……………………………………………………（1分）∵ △APD∽△DCE，∴ ．∴ ．…………………………………………（1分）在Rt△PCD中，．∴ 所求函数解析式为．…………………………………（2分）函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）（3）当△APD∽△DPC时，即得 △APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P与点B不重合时，可知 ∠APD =∠DPC．由 △APD∽△DCE，得 ．即得 ．由 △APD∽△DPC，得 ．∴ ．即得 DE = AD = 2．∴ AE = 4．易证得四边形ABCE是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）（ⅱ）当点P与点B重合时，可知 ∠ABD =∠DBC．在Rt△ABD中，由 AD = 2，AB = 3，得 ．由 △ABD∽△DBC，得 ．即得 ．解得 ．………………………………………………………（2分）∴ △APD∽△DPC时，线段BC的长分别为4或．【变式1】【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【变式2】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似．【变式3】在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴．又∵，∴．∴；②解：分三种情况：（i）当，时，得到，点分别与重合，∴．（ii）当时，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，∵BC=，∴，∴；（iii）当时，有，∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1．（2）解：存在．∵，∴．∵，∴．∴，∴，∴，当，．（3）解：不存在．理由如下：如图，∵和不重合，∴，又，，∴≠．2.转化思想【例10】（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB， ,又∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO=∠DCO． ∵AB∥DE，∴∠ABO=∠EDO． ∴∠DCO=∠EDO．∵∠DOC=∠EOD，∴△DOC∽△EOD,∴ , 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意找准对应角和对应边． 【检测卷】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•新邵县期末）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【解答】解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ＝，也可判定△ABC∽△ACD，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．2．（2023•和平区校级开学）已知a，d，b，c依次成比例线段，其中a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，则d的值为（　　）A．8cm B．cm C．4cm D．cm【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得：a：d＝b：c代入数值即可求得．【解答】解：根据题意得：a：d＝b：c，∵a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，∴3：d＝4：6，∴d＝cm；故选：D．【点评】此题注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．3．（2023秋•宝应县校级月考）如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（　　）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】设像CD到小孔O的距离为x，根据相似三角形对应边以及对应边上的高成比例得出方程求解即可．【解答】解：设像CD到小孔O的距离为x，由题意知，AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴∴x＝2，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．（2022秋•长清区期末）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵2a＝5b，∴＝，＝．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．5．（2022秋•东营区校级期末）如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝4，AC＝10，DE＝5，则EF＝（　　）A． B． C．8 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出DF，进而求出EF．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AB＝4，AC＝10，DE＝5，∴＝，解得：DF＝，∴EF＝DF﹣DE＝﹣5＝，故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．（2023•东阿县校级开学）如图，在△ABC中，DE∥AB，AD：AB＝3：4，△ABC的面积等于48，则四边形DBCE的面积等于（　　）​A．12 B．24 C．21 D．36【分析】先由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得 ，而S△ABC＝48，可求得S△ADE的值，再求出四边形DBCE的面积值即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ABC＝48，∴，∴四边形DBCE的面积＝48﹣27＝21，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2022秋•安乡县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，＝2，DE＝6cm，则BC的长为（　　）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∵DE＝6cm，∴，故选：A．【点评】本题考查利用相似求线段长，涉及平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．8．（2023•荔城区校级开学）下列说法不正确的是（　　）A．所有的正五边形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．【解答】解：A．所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意；B．所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；C．所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；D．所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．9．（2023•东明县一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•龙岗区期末）如果x：y＝1：3，那么＝　　．【分析】根据已知条件求出y＝3x，再代入求出答案即可．【解答】解：∵x：y＝1：3，∴y＝3x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．12．（2023•广陵区校级一模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为 　（4，6）或（﹣4，﹣6）　．【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为（2×2，3×2）或[2×（﹣2），3×（﹣2）]，即（4，6）或（﹣4，﹣6），故答案为：（4，6）或（﹣4，﹣6）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．13．（2023•朝阳区校级一模）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　135°　．【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案为：135°．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等．14．（2023秋•宝应县校级月考）如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 　∠ADE＝∠B（答案不唯一）　时，△ADE∽△ABC．​【分析】由相似三角形的判定，即可得到答案．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC．故答案为：∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．15．（2023•城厢区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC＝2：3，AC与DE相交于点F，若△AFD周长为6，则△EFC周长为 　4　．【分析】利用平行四边形的性质，可得出 AD∥BC，BC＝AD，进而可得出△ADF∞△CEF，再利用相似三角形的性质，即可求出△EFC的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD，∵CE：BC＝2：3，∴CE：AD＝2：3，∵AD∥BC，∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵△AFD周长为6，∴△EFC的周长＝，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记“相似三角形的 周长比等于相似比”是解题的关键．16．（2023•肇源县校级开学）若，则的值是 　　．【分析】利用已知条件设a＝2k，b＝3k，c＝4k，，将它们代入运算化简即可．【解答】解：∵，∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴原式＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设a＝2k，b＝3k，c＝4k是解题的关键．17．（2023•香坊区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 　31　．【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB．∴△DEF∽△BAF．∴＝＝．∴＝＝，＝＝．设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S．∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+＝S＝S．∵四边形ABCD为平行四边形，∴S△ABD＝S△DBC＝S．∴S四边形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S．又S＝4，∴S四边形EFBC＝×4＝31．故答案为：31．【点评】本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到△DEF和△DBC的关系是解题的关键．18．（2023春•太仓市期末）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为　7.5　m．【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，∴CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴，即＝，∴AB＝3CD＝7.5m；故答案为：7.5．【点评】本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．三．解答题（共8小题）19．（2023•江北区校级开学）已知线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k．（1）代入计算即可；（2）构建方程求出k即可．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵a+b+c＝60，∴3k+4k+5k＝60，∴k＝5，∴a＝15，b＝20，c＝25．【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．20．（2023秋•宝应县校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？​【分析】设正方形的边长为xmm，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48，所以，这个正方形零件的边长是48mm．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．21．（2023秋•宝应县校级月考）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF．​求证：（1）△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，进而得出∠ABE+∠AEB＝90°，再判断出∠AEB+∠DEF＝90°，得出∠ABE＝∠DEF，即可得出结论；（2）先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵BE⊥EF∴∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴＝，即＝，解得DF＝3，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．22．（2023•温州模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，在AC上取点E，使AD2＝AB×AE​（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若∠B＝64°，∠C＝42°，求∠CDE的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AB×AE得：，即可判定：△ABD∽△ADE；（2）由（1）可得∠ADE＝∠B，再由三角形的内角和可求得∠BAC＝74°，由角平分线的定义得∠BAD＝37°，则可求得∠ADB的度数，从而可求∠CDE的度数．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠EAD，∵AD2＝AB×AE，∴，∴：△ABD∽△ADE；（2）解：∵△ABD∽△ADE，∠B＝64°，∠C＝42°，∴∠ADE＝∠B＝64°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝37°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝79°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝37°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质并灵活运用．23．（2023•城厢区校级开学）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】根据直线l4、l5被平行线l1，l2，l3所截，截得的对应线段的长度成比例进行解答．【解答】证明：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴BC＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．24．（2023•福田区校级开学）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）△CAE≌△BAF；（2）△ACE∽△AFQ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△CAE≌△BAF；（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，根据相似三角形的性质即可得解．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△CAE≌△BAF（SAS）；（2）∵△CAE≌△BAF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．25．（2023春•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．（2）如图所示，A2（0，2），B 2（﹣1，﹣1）．（3）△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．26．（2023•柘城县模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长．【分析】（1）①只要证明△ADE≌△CDF（ASA）即可解决问题；②利用相似三角形的性质证明∠PDQ＝45°即可解决问题；（2）①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．②∵△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴＝，∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠QDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分线段EF．（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x+×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．综上所述，PQ的长为或．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．