初中5 二次函数与一元二次方程课后复习题

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倍速学习三种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.二次函数与一元二次方程的关系（重点）
知识点2.二次函数与轴交点个数的判断（重点）
知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用列表法求一元二次方程的近似根
题型2.二次函数与一次函数的综合应用
题型3.函数与方程关系的综合应用
题型4.阅读理解题
题型5.探究题
【方法三】 成果评定法
【学习目标】
掌握二次函数与一元二次方程的关系。
能根据二次函数与一元二次方程的关系确定二次函数与坐标轴的交点坐标。
能运用二次函数与一元二次方程之间的关系判断二次函数与轴的交点个数。
会利用二次函数的图象确定一元二次方程的根的近似值。
重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。
难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.二次函数与一元二次方程的关系（重点）
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例1】．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 .（填一个值即可）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，
即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，
∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n＜0，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
【变式】．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是 ．
【分析】作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，于是得到结论．
【解答】解：方程|x2﹣3|﹣a＝0⇔方程|x2﹣3|＝a，
作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．
由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，
当1＜a＜3时，有4个交点．
故答案为：0＜a＜3．
【点评】此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．
知识点2.二次函数与轴交点个数的判断（重点）
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【例2】．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
【变式】．（2023春•江都区月考）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣2x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
​​
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时，4+m＝0，解得m＝﹣4；
当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣2x+m有相等的实数解，
解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣＜m＜﹣4．
故答案为：﹣＜m＜﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【例3】（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
【方法二】实例探索法
题型1.用列表法求一元二次方程的近似根
3．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
题型2.二次函数与一次函数的综合应用
6．（2022秋•确山县期中）某班“数学兴趣小组”对函数；y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ 3 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴 ．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：
（3）函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴，
故答案为：函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
题型3.函数与方程关系的综合应用
6．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；
（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC＝S△ABC列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S△PBC＝S△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝﹣t＝，
∴S△PBC＝××3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．
题型4.阅读理解题
7．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；
（2）当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整数，故当2a+1是6的因数时，是整数，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分别解方程并检验可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【解答】（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣，
∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当a＝﹣时，不符合题意；
当a≠时，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣或x＝，
∵x＝＝2﹣，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，其中还涉及了一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．
题型5.探究题
4．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)3
(3)存在，或或或
【分析】（1）令和求解即可；
（2）过点C作交的延长线于F，首先求出，求出直线BC的函数表达式为：，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）首先得到，然后设，，然后根据题意分3种情况讨论：是平行四边形的边，是平行四边形的边，是平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）由，得．
解，得，．
∴点A，B的坐标分别为，，
由，得．
∴点C的坐标为．
（2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，

过点C作交的延长线于F．
∵点A的坐标为，点C的坐标为．
∴，．
∴．
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线BC的函数表达式为．则．解得
∴直线BC的函数表达式为：．
∵点D的横坐标为，
∴点D的坐标为，点G的坐标为：．
∴，，．
∴
∴．
解得：（不合题意舍去），，
∴m的值为3．
（3）将代入
∴，
设，，
∵，
∴如图所示，当是平行四边形的边时，


∴由平行四边形的性质可得，
，解得或
∴点M的坐标为或；
当是平行四边形的边时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
如图所示，当是平行四边形的对角线时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•泽州县期末）如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量的取值范围是
A．B．C．或D．或
【分析】根据当时，自变量的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象进行作答即可．
【解答】解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（2023秋•南开区期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与轴的交点位置得到，则，然后由抛物线与轴有两个交点得到，于是可判断点所在象限．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
点在第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
3．（2022秋•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．连结．若点的横坐标为1，且，则的长为
A．B．C．4D．
【分析】根据平行线分线段成比例结合点的横坐标为1，求得，解方程得，进而求出点坐标，可求得抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用点的纵坐标为4，求出点的横坐标，然后计算的长．
【解答】解：过点作，则，
点的横坐标为1，即：，
，
当时，，
解得，，则，
则，
，
，
抛物线解析式为，
当时，，则，
当时，，
解得，，
则，
的长为：．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，抛物线与轴的交点，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
4．（2022秋•嘉禾县期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：
①；
②一元二次方程的正实数根在2和3之间；
③；
④点，在抛物线上，当实数时，．
其中，正确结论的个数是
A．4B．3C．2D．1
【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对②进行判断；把，和代入抛物解析式可对③进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以结论①正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间，
抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，
一元二次方程的正实数根在2和3之间，所以结论②正确；
把，代入抛物线得，，
而，
，
，所以结论③正确；
点，在抛物线上，
当点、都在直线的右侧时，，此时；
当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即，
当或时，，所以结论④错误．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
5．（2023秋•杜尔伯特县期末）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴是直线
B．图象与轴有两个交点
C．当时，的值随值的增大而增大
D．当时，取得最大值，且最大值为3
【分析】根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．
【解答】解：二次函数，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，有最小值，最小值为3，抛物线与轴没有交点，
故，，错误，正确，
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．
6．（2023秋•西丰县期末）将抛物线与轴的交点坐标为
A．，B．，C．，D．，
【分析】令，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：令，
解得：或，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．
7．（2023秋•西山区校级月考）关于抛物线，下列说法正确的是
A．顶点坐标是B．对称轴是直线
C．抛物线有最高点D．抛物线与轴有两个交点
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：，
则抛物线的顶点坐标为：，故错误，不符合题意；
函数的对称轴为执行案，故正确，符合题意；
，故抛物线开口向上，函数有最低点，故错误，不符合题意；
由知，抛物线与轴有一个交点，故错误，不符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
8．（2023秋•明光市期中）下表给出了二次函数与自变量的部分对应值：
则关于的一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴即可解答．
【解答】解：从表格知道，当时，所对应的值分别为和0，
由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴；
设一元二次方程的解分别为和
因为当时，表格所对应的的值为1，
所以，
解得，
所以关于的一元二次方程的解为，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的对称轴是解题的关键．
9．（2023秋•明光市期中）抛物线与轴有两个交点，则的值可能为
A．B．1C．3D．4
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，即△即可求出．
【解答】解：抛物线与轴有两个交点，
△，
解得，
选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．
10．（2023秋•通榆县期末）如图，抛物线的对称轴为，点、点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】抛物线的对称轴为直线，点，由点、关于抛物线的对称轴对称，即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点，
点、关于抛物线的对称轴对称，
故点，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉函数的对称性是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 或 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的方程的解为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标．
12．（2023秋•西城区校级月考）抛物线与轴交于两点，分别是是，，则的值为 3 ．
【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可．
【解答】解：抛物线与轴交于两点，分别是是，，
令，则，为方程的两个根，
，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
13．（2023秋•西城区校级月考）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 4 ．
【分析】直接根据题意得到求解即可．
【解答】解：抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式，正确得出一元二次方程只有一个实数解是解题关键．
14．（2023秋•长春期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 或 ．
【分析】根据函数图象求出与轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【解答】解：由可得，，，
观察函数图象可知，当或时，函数值．
故答案为：或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．
15．（2022秋•抚松县期末）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为 ．
【分析】由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案．
【解答】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，
当时，的图象在的图象的下方，
不等式的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．
16．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，，．抛物线经过，，三点，直线经过，．当时，的取值范围为 ．
【分析】画出函数图象，根据图象即可求解．
【解答】解：观察函数图象，直线经过点，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组，数形结合是解题的关键．
17．（2023•郴州）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则 9 ．
【分析】利用判别式△即可得出结论．
【解答】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
方程有唯一解．
即△，
解得：．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点知识，明确△决定抛物线与轴的交点个数是解题的关键．
18．（2022秋•泽州县期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与轴交点的个数为 1 个．
【分析】抛物线与轴的交点的横坐标，即令所对应的一元二次方程的根．
【解答】解：由题意知，抛物线与轴交点的个数为1个，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数与轴交点与一元二次方程根的关系．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根是二次函数与轴交点的横坐标．
三．解答题（共6小题）
19．（2023秋•徐汇区期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，顶点为．
（1）求此抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）联结、，求的余弦值．
【分析】（1）依据题意，将代入求出进而的表达式，再化成顶点式可得的坐标；
（2）依据题意，令，可求得的坐标，令，求得的坐标，再分别求出，，的长，由勾股定理逆定理可得，进而求出的值．
【解答】解：（1）由题意，将代入得，，
．
抛物线为．
又，
顶点为．
（2）如图，
由题意，令，即．
或．
．
又令，
．
．
，
，
．
．
．
．
【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
20．（2023秋•日喀则市期末）如图，顶点为的抛物线，与轴交于，两点．
（1）求抛物线顶点的坐标．
（2）求直线的解析式．
【分析】（1）由，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1），
则点，；
（2）令，
解得：或4，
即点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：．
【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．
21．（2023秋•吉林期末）如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点，的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
【分析】（1）易求抛物线的顶点坐标，在平行四边形中，根据平行四边形的性质，，，即可求出的值；
（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为，平移后抛物线经过点，将代入解析式，求出即可．
【解答】解：（1）抛物线，
顶点的坐标为
四边形是平行四边形，
，，
设，的横坐标分别为，，则，
解得，
（2），
，
设平移后抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
平移后抛物线的解析式为，
即．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（2023秋•杜尔伯特县期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程的两个根： 1和3 ；
（2）写出不等式的解集： ；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 ；
（4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围： ．
【分析】（1）根据图象可知和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，据此求出的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，图象与轴交于和点，
则方程的两个根为和，
故答案为：1和3；
（2）由图象可知当或时，不等式；
故答案为或；
（3）由图象可知，的图象的对称轴为直线，开口向下，
即当时，随的增大而减小；
故答案为：．
（4）由图象可知，二次函数有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
23．（2023秋•杜尔伯特县期末）已知二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解．
【分析】（1）把，坐标代入解析式求出，即可；
（2）根据二次函数与直线交点的横坐标即为方程的解可得结论．
【解答】解：（1）把点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）二次函数与直线交于点，，
方程的解为或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，关键是利用数形结合的思想解答．
24．（2023秋•绿园区期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）求点关于抛物线、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）．
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求得抛物线的对称轴，设点的横坐标为，根据抛物线的对称性得，即可得出，从而得出点的坐标；
（3）求出抛物线与轴的交点为，，再由点在轴上方，求的范围即可；
（4）当时，在点左侧的图象顶点为最低点，，解得，当时，随的增大而减小，为最低点，，解得（舍去），．
【解答】解：（1）把，代入，
得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2），
抛物线的对称轴是直线，
设点的横坐标为，由题意，得，
，
，
；
（3）令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
点在轴上方，
的取值范围为或；
（4），
抛物线顶点为，
当时，在点左侧的图象顶点为最低点，
即，
解得；
当时，随的增大而减小，
为最低点，
即当时，，
解得（舍去），，
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
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…
y
…
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3
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3
4
m
0
﹣5
…
0
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2
5
6
5
2