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山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
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这是一份山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，文件包含山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题docx、山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
2．有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（ ）
A．10个B．8个C．7个D．6个
3．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
7．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
8．如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（ ）
A．9B．C．D．6
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”
D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
11．如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有平面
B．对于任意的，都有
C．若，则
D．存在，使与平面所成的角为
三、填空题
12．已知的两个顶点，若的中点在轴上，的中点在轴上，则顶点的坐标为 ．
13．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 .
14．已知圆和圆与x轴和直线相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为，若两圆半径之积为，则点k的值为 ．
四、解答题
15．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.
(1)求证：；
(2)直线PB与平面APD所成角的正弦值；
(3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.
17．已知直线．
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值．
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面EFM的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.
(1)直接写出的反射光线所在直线的方程；
(2)求圆的方程；
(3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
2．有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（ ）
A．10个B．8个C．7个D．6个
3．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
7．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
8．如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（ ）
A．9B．C．D．6
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”
D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
11．如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有平面
B．对于任意的，都有
C．若，则
D．存在，使与平面所成的角为
三、填空题
12．已知的两个顶点，若的中点在轴上，的中点在轴上，则顶点的坐标为 ．
13．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 .
14．已知圆和圆与x轴和直线相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为，若两圆半径之积为，则点k的值为 ．
四、解答题
15．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.
(1)求证：；
(2)直线PB与平面APD所成角的正弦值；
(3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.
17．已知直线．
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值．
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面EFM的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.
(1)直接写出的反射光线所在直线的方程；
(2)求圆的方程；
(3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.
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