北京市第八十中学2025届高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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班级____________姓名____________考号____________
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，则（ ）
A. 0B. C. D.
3. 设则
A. B.
C. D.
4. 若且，则下列不等式中一定成立是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若在区间上单调递增，则可以是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ）
A. 函数是最小正周期为的奇函数
B. 函数的对称轴为
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的最大值不大于2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为__________.
12. 在中，，P满足，则____________．
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14. 设函数上恰有两个零点，则__________.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．
16.
已知函数
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
17. 在中，.
（1）求大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；
条件②；
条件③AB边上的高为.
18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
19 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求a的最大值.
20. 设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知.
（1）若直线l斜率为，
（i）求及直线l的方程；
（ii）记，讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有且只有一个“T点”.
21. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
（1）当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
（2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
（3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98