河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设为实数，已知直线，若，则（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.
【详解】因为，所以，解得：或.
当时，，平行；
当时，，可判断此时重合，舍去.
故选：A
2. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A. B. 6C. 12D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点位置以及焦距，列式求解，即得答案.
【详解】由于焦点在轴上的椭圆的焦距为6，
故，
故选：C
3. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可求解.
【详解】因为:，
所以：.又因为：，
所以：，
所以：.
故C项正确.
故选：C.
4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出点M圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.
【详解】因为，所以点M在圆上，而，
则切线斜率为，所以切线方程为：
即
故选：A
5. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合法进行求解.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或.
即.
因为是的真子集，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B．
6. 一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解.
【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点，
因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为，
即.
故选：.
7. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.
【详解】设点，因为，所以，
代入直线方程可得：，
化简可得：
所以的轨迹方程为.
故选：C
8. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，根据基本不等式求的最小值.
【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，
所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明），
所以，
当且仅当时取“=”.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（ ）
A. 双曲线C的焦点坐标为
B. 双曲线C的渐近线方程为
C. 点在双曲线C上
D. 直线与双曲线C恒有两个交点
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D.
【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以，
所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确．
双曲线C的渐近线方程为，B错误．
因为，所以点在双曲线C上，C正确．
直线即，恒过点，即双曲线的右顶点，
当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误．
故选：AC
10. 已知为圆直径，且不与轴重合，直线与轴交于点，则（ ）
A. 与恒有公共点
B. 是钝角三角形
C. 的面积的最大值为1
D. 被截得的弦的长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】是一个在圆内的定点，可以判断A，B选项；根据是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；被截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.
【详解】直线与轴交于点，所以，易知在圆内部，
所以与恒有公共点，A正确．
因为在圆内部，所以为钝角，所以是钝角三角形，B正确．
点到的最大距离即点M与圆心之间的距离，为1，所以，C错误．
被截得的弦的长度最小时，圆心到直线的距离最大，易知此距离为点与圆心之间的距离为1，
所以最短弦长为，D正确．
故选：ABD
11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ）

A. 若，则三棱锥的体积为定值
B. 若，则点的轨迹长度为3
C. 若，则的最小值为
D. 若，则点到的距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值.
【详解】
对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误；
若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；
若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，，
所以，
所以，
所以点到的距离，
所以当时，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.
【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0
【解析】
【分析】直线过原点有直线方程为2x－y＝0；直线不过原点时，设轴截距为，则轴截距为，根据截距式并结合所过的点求，写出方程.
【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为，
将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为x－y＋1＝0.
∴综上，直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
故答案为：2x－y＝0或x－y＋1＝0.
13. 若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则____.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，
又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，
因为圆的圆心为，半径，
所以圆心到渐近线的距离为，
由圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
14. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果.
【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为，
又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为，
所以，即，
整理得：，两边同除以，
得，所以或，
又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.
【小问1详解】
设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
【小问2详解】
设，因为A为线段BD的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为；
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，.
（1）证明：四点共面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量线性运算的坐标表示可得，进而求证；
（2）求出平面的法向量，结合空间向量知识求解即可.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，平面，
所以，
又四边形为正方形，所以.
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，
得，
则.
所以，，
设，
则，解得，
所以，
故四点共面.
【小问2详解】
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，
又，
所以点到平面的距离.
17. 已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意知，求出，再由求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）设，设的方程为，联立椭圆方程消元后得到韦达定理，由代入求出，即可求出直线恒过的定点.
【小问1详解】
解：因为为直角三角形，
所以由椭圆的对称性知，，
即，所以，则，
代，得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
证明：由题意，可设直线的方程为，
联立消去x得，，
设，则①
因为，所以，由（1）知，，
所以，
则，
将代入上式得，
，
将①代入上式，
解得，或（舍），故直线l恒过点
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，

，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，


（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，
则，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
∴点Q到平面的距离是
，
．
19. 已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于.
（1）若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：；
（2）求证：为定值；
（3）求最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设,，可得PQ，结合两点间距离公式求，即可分析证明；
（2）设，,，联立方程可得韦达定理，结合数量积坐标可得为定值；
（3）根据题意求得，，整理可得，由此能求出的最小值．
【小问1详解】
点是抛物线上任意一点，
设,，
抛物线的准线方程为．
点在直线上的射影为，
，
，，
．
【小问2详解】
由题设知直线的斜率一定存在，设，
由，得，
设,，则，，
，
,，,，
．
故为定值．
【小问3详解】
因为,，，
直线，直线，
，都在直线上，
，，
，
当时，取最小值．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.