精品解析：河南省信阳市新县高级中学2024届高三数学模拟卷

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A ，互斥B. C. D.
4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列an，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
5. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若集合中仅有2个整数，则实数k取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C. 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
10. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
13. 已知A为圆C：上动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________.
14. 已知函数恰有两个零点，则______.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
16. 已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.
17. 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
（1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望；
（2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）函数有两个零点，求证：.
19. 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．
（1）若空间向量，求及；
（2）对于空间向量．若，求证：，若，则；
（3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：．