湖南省名校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省名校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=xlnx−1≥0，集合B=xx2−3x<0，则A∪B=（ ）
A．0,2B．2,3C．0,+∞D．2,+∞
2．已知i为虚数单位，复数z满足|z+1|=|z+i|=5，则|z|的值为（ ）
A．1B．2C．2或22D．1或2
3．已知向量a=2,0，b=λ,32，若向量b在向量a上的投影向量c=12,0，则b=（ ）
A．3B．7C．104D．1
4．已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1)，b=f20.4，c=flg25，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>b>aD．b>a>c
5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ）
A．33RB．63RC．12RD．13R
6．已知函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x+1)f'(x)<0的解集为（ ）
A．(−∞,−1)∪12,2B．(−∞,−1)∪(2,+∞)
C．(−1,1)∪(3,+∞)D．−∞,−12∪(2,+∞)
7．若正项等比数列an满足anan+1=22nn∈N*，则数列an的前4项的和S4的值是（ ）
A．152B．1524C．82D．62+6
8．已知小明射箭命中靶心的概率为35，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）
A．36625B．925C．144625D．216625
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是4+23
B．直三棱柱的外接球表面积是4π
C．三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关
D．AE+EC1的最小值为22
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．若a2tanB=b2tanA，则a=b
B．若cs2A2=b+c2c，则此三角形为直角三角形
C．若a=3,b=4,B=π6，则解此三角形必有两解
D．若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB＞csA+csB
11．已知数列an的首项为a1=1，且9anan+1=an−4an+1，数列1an、数列4nanan+1、数列nan1+3an的前n项和分别为Sn、Rn、Tn，则（ ）
A．an+1an<15B．Sn<4n+13−4C．Rn<13D．Tn<49−n+14n+1
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
12．已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y的最小值是 ．
13．已知函数fx=sin2πωx(ω>0)在区间0,18上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 ．
14．设函数fx=x+m,x<0,−2m2x,x≥0.给出下列四个结论：
①当m=0时，函数fx在−∞,+∞上单调递减；
②若函数fx有且仅有两个零点，则m>0；
③当m<0时，若存在实数a,b，使得fa=fb，则a−b的取值范围为2,+∞；
④已知点P−m,0，函数fx的图象上存在两点Q1x1,y1,Q2x2,y2x1其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5=62，S10=2046，数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=nn+14n−16．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令cn=an1+bn2，求{cn}的前n项和Tn．
16．（15分）如图，在三棱锥P−ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的中点，AB⊥BC，A1C⊥平面BB1C1C.
(1)求证：平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
(2)如果A1C=B1C，AB=BC=4，求二面角A1−BB1−C的余弦值.
17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为23.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求n的最大值.
参考数据：0.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.
18．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>1>b>0)的离心率为32，过点M1,0的直线l交椭圆C于点A,B，且当l⊥x轴时，AB=3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记椭圆C的左焦点为F，若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线l的斜率.
19. 对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．
（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；
（2）设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．
数学参考答案
1．【答案】C
【解析】由lnx−1≥0可得：x≥2，所以A=2,+∞，
由x2−3x<0可得：0所以A∪B= 0,+∞.
故选：C.
2．【答案】C
【解析】设z=a+bi，a,b∈R，则z+1=a+1+bi，z+i=a+b+1i，
因为|z+1|=|z+i|=5，
所以a+12+b2=5a2+b+12=5，⇒ a=1b=1或a=−2b=−2
当a=b=1时，z=2；当a=b=−2时，z=22.
故选：C
3．【答案】D
【解析】解：由已知可得，b在a上的投影向量为a⋅ba⋅aa=2λ2×2a=λ2a=λ,0，
又b在a上的投影向量c=12,0，所以λ=12.
所以b=λ2+322=122+322=14+34=1，D正确．
故选：D.
4．【答案】D
【解析】由f(x)=f(2−x)，得到对称轴为x=1，则a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1)，
而1<20.4<2+ln1.1则f20.4>f(2+ln1.1)> flg25，得b>a>c.
故选：D
5．【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为ℎ，则r2+ℎ2=R2，
可得r2=R2−ℎ2,ℎ∈0,R，
则圆锥的体积Vℎ=13πr2ℎ=13πR2−ℎ2ℎ=13πR2ℎ−ℎ3，则V'=13πR2−3ℎ2，
当0<ℎ<33R时，V'ℎ>0；当33R<ℎ则Vℎ在0,33R上单调递增，在33R,R内单调递减，
可知当ℎ=33R，即r=63R时，圆锥的体积取到最大值.
故选：B.
6．【答案】A
【解析】由函数f(x)的图象可得：
当x∈(−∞,12)时，函数单调递增，则f'(x)>0，
当x∈(12,2)时，函数单调递减，则f'(x)<0．
当x∈(2,+∞)时，函数单调递增，则f'(x)>0，
由(x+1)f'(x)<0⇔f'(x)>0x+1<0①或f'(x)<0x+1>0②
解①得，x<−1，解②得，12综上，不等式(x+1)f'(x)<0的解集为(−∞,−1)∪12,2.
故选：A．
7．【答案】A
【解析】设正项等比数列an的公比为q>0，
因为anan+1=22n(n∈N∗)，所以an+1an+2anan+1=22(n+1)22n=4=q2，
解得q=2，所以an2×2=22n(an>0)，
所以an=22n−12，所以a1=22−12=2，
所以S4=2(1−24)1−2=152，
所以数列an的前4项的和S4的值为152.
故选：A.
8．【答案】D
【解析】由已知命中的概率为35，不命中的概率为25，射击4次，命中两次，
故概率P=C42352×252=216625.
故选：D.
9．【答案】ACD
【解析】A.△ABC中，AC=12+12−2×1×1×−12=3，
所以直棱柱的侧面积为1+1+3×2=4+23，故A正确；
B.△ABC外接圆的半径r=AC2sin120∘=1，
所以直棱柱外接球的半径R=r2+AA122=2，
则直三棱柱外接球的表面积S=4πR2=8π，故B错误；
C.因为BB1//AA1，且BB1⊄平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，所以BB1//平面AA1C1C，
点E在BB1上，所以点E到平面AA1C1C的距离相等，为等腰三角形ABC底边的高为12，
且△AA1O的面积为12×2×32=32，
则三棱锥E−AA1O的体积为定值13×32×12=312，与点E的位置无关，故C正确；
D.将侧面展开为如图长方形，连结AC1,交BB1于点E，
此时AE+EC1最小，最小值为22+1+12=22，故D正确.
故选：ACD
10．【答案】BD
【解析】对于A：因为a2tanB=b2tanA，由正弦定理可得sin2AtanB=sin2BtanA，
则sin2AsinBcsB=sin2BsinAcsA,
又A,B∈0,π，则sinA≠0，sinB≠0，2A,2B∈0,2π，
可得sinAcsB=sinBcsA，整理得sin2A=sin2B，
又因为A+B∈0,π，
可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
所以a=b或a2+b2=c2，故A错误；
对于B：因为1+csA2=b+c2c=sinB+sinC2sinC，则2sinC+2csAsinC=2sinB+2sinC，
所以csAsinC=sinB=sinπ−A+C=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAcsC=0，
在三角形中，sinA＞0，所以csC=0，所以C=π2，
则此三角形为直角三角形，故B正确；
对于C：因为a=3,b=4,B=π6，所以asinB=32，所以asinB＜a＜b，
则解此三角形只有一解，故C错误；
对于D：因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜C＜π2，所以π2＜A+B＜π，
所以0＜π2−B＜A＜π2，所以sinπ2−B＜sinA，即csB＜sinA，
同理csA＜sinB，
则sinA+sinB＞csA+csB，故D正确．
故选：BD.
11．【答案】BCD
【解析】若数列an中存在某项ak=0，由9anan+1=an−4an+1可推得ak−1=ak+1=0，
进而an所有项均为0，与a1=1矛盾，故数列an均为非零项．
由9anan+1=an−4an+1两边同时除以anan+1，可得9=1an+1−4an，
所以1an+1+3=41an+3,1a1+3=4≠0，
故数列1an+3是以4为首项，公比为4的等比数列，所以1an+3=4n，即an=14n−3，
对于A，因为an=14n−3，可得a2=113,a3=161,a3a2=1361>15，矛盾，所以A错误；
对于B，由Sn=41−3+42−3+⋯+4n−3=434n−1−3n=4n+13−43−3n <4n+13−1−3=4n+13−4，
所以Sn<4n+13−4成立，所以B正确；
对于C，由4nanan+1=4n4n−34n+1−3=1314n−3−14n+1−3，
所以Rn=131−142−3+142−3−143−3+⋯+14n−3−14n+1−3=131−14n+1−3<13，所以C正确；
对于D，因为nan1+3an=n4n,Tn=14+242+343+⋯+n4n，则14Tn=142+243+344+⋯+n4n+1，
错位相减得34Tn=14+142+143+144⋯+14n−n4n+1 =141−14n1−14−n4n+1=13−13×4n−n4n+1，
则Tn=49−43×13×4n+n4n+1<49−44×14×4n+n4n+1=49−n+14n+1成立，所以D正确．
故选：BCD
12．【答案】3+22/22+3．
【解析】由x+2y=2，得x−1+2y=1，
因为x>1，y>0，
所以x−1>0,y>0，
所以1x−1+y=x−1+2y1x−1+y=3+(x−1)y+2(x−1)y≥3+2(x−1)y⋅2(x−1)y=3+22，
当且仅当(x−1)y=2(x−1)y，即x=2，y=2+2时，等号成立，
所以1x−1+y的最小值是3+22．
故答案为：3+22．
13．【答案】19≤ω<536
【解析】因为fx=sin2πωx，所以函数fx的最小正周期T=2π2πω=1ω(ω>0)．
因为fx在区间0,18上有5个零点，
所以2T≤18<52T，即2ω≤18<52ω，
可得19≤ω<536；
故答案为：19≤ω<536.
14．【答案】②③④
【解析】当m=0时，x≥0时，fx=0，故在−∞,+∞上不是单调递减，①错误；
对于②，当m=0显然不成立，故m≠0，
当x≥0时，令fx=0，即−2m2x=0，得x=0，x<0,x+m=0⇒x=−m，要使fx有且仅有两个零点，则−m<0，故m>0，②正确，
对于③, 当m<0时,fx=−x−m,x<0,−2m2x,x≥0.,此时fx在−∞,0单调递减，在[0,+∞）单调递增，如图：

若fa=fb，由−m=−2m2x⇒x=2，故a−b>2，所以a−b的取值范围为2,+∞；③正确
对于④,由①③可知：m≤0时，显然不成立,故m>0，
要使Q1x1,y1,Q2x2,y2x1则只需要x>0,y=−x−m的图象与x≥0,fx=−2m2x有两个不同的交点，如图：

故x1<−mPQ1+PQ2=2−m−x1+2x2+m=−2m+x1+2x2+m=322⇒x2−x1=32，
由对称可得f−x1=−2m2−x1=−−x1−m=x1+m，
化简可得x1+m+2m2−x1=0，故−x12−2m2−x1−m=0⇒−x1=2m2±12m2+4m2，
f−x2=−2m2−x2=−−x2−m=−x2−m，化简得−x22+2m2−x2−m=0
所以−x2=−2m2±12m2+4m2
由于−x1,−x2均大于0，所以−x1=2m2+12m2+4m2，−x2=−2m2+12m2+4m2，
因此x2−x1=−x12−−x22=2m2+12m2+4m22−−2m2+12m2+4m22
=2m212m2+4m=2212m4+4m3
由于m>0，fm=12m4+4m3为0,+∞单调递增函数，且f1=92，
此时x2−x1=2212m4+4m3=32，因此m=1，④正确，
故答案为：②③④
15．【解析】（1）由题意知，S5=62S10=2046，即a1(1−q5)1−q=62a1(1−q10)1−q=2046，
解得a1=2q=2，所以an=a1qn−1=2n；
由b1+2b2+⋯+(n−1)bn−1+nbn=n(n+1)(4n−1)6，
得b1+2b2+⋯+(n−1)bn−1=(n−1)n(4n−5)6(n≥2)，
两式相减，得nbn=n(n+1)(4n−1)6−(n−1)n(4n−5)6=n(2n−1)，
所以bn=2n−1，
当n=1时，b1=1满足上式，
故bn=2n−1.
（2）由（1）知，an=2n，bn=2n−1，所以cn=an(1+bn)2=2n⋅(2n)2=n⋅2n，
Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，
2Tn=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，
两式加减，
得−Tn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
所以Tn=(n−1)⋅2n+1+2.
16．【答案】(1)证明见解析；(2)23417
【解析】（1）因为A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的中点，
所以A1B1//AB,B1C1//BC，
因为AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1，
因为A1C⊥平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，
所以A1C⊥B1C1，
又A1C∩A1B1=A1,A1C,A1B1⊂平面A1B1C，
所以B1C1⊥平面A1B1C，
又因为B1C1⊂平面A1B1C1，
所以平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
（2）因为A1C⊥平面BB1C1C，BC,B1C⊂平面BB1C1C，
所以A1C⊥B1C,A1C⊥BC，
因为AB=BC=4，所以A1B1=B1C1=2，
所以A1C=B1C=2，
因为B1C1⊥平面A1B1C，B1C1//BC，
所以BC⊥平面A1B1C，
又B1C⊂平面A1B1C，所以BC⊥B1C，
所以CA1,CB,CB1两两垂直，
如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
则B4,0,0,C0,0,0,A10,0,2,B10,2,0，
故A1B1=0,2,−2,A1B=4,0,−2，
设平面A1BB1的法向量为n=x,y,z，
则有n⋅A1B1=2y−2z=0n⋅A1B=4x−2z=0，可取n=1,22,22，
因为A1C⊥平面BB1C1C，
所以CA1=0,0,2即为平面BB1C1C的一条法向量，
故csn,CA1=n⋅CA1nCA1=417×2=23417，
所以二面角A1−BB1−C的余弦值23417.
17．【解析】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率
P=12×1−13×1−23+1−12×13×1−23+1−12×1−13×23=718.
（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，
则P(C)=P(C)=12,PDC=1−14=34,PDC=1−23=13，
由全概率公式得P(D)=P(C)PDC+P(C)PDC=12×34+12×13=1324.
故丁周日选择B健身中心健身的概率为1324.
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p，则p=0.02，
设抽取次数为X，则X的分布列为
故EX=p+1−pp×2+(1−p)2p×3+⋯+(1−p)n−2p×n−1+(1−p)n−1×n，
又1−pEX=1−pp+(1−p)2p×2+(1−p)3p×3+⋯+(1−p)n−1p×n−1+(1−p)n×n，
两式相减得pEX=p+1−pp+1−p2p+⋯+1−pn−2p+1−pn−1p，
所以EX=1+1−p+1−p2+⋯+1−pn−2+1−pn−1
=1−1−pn1−1−p=1−1−pnp=1−，
所以EX=1−在n∈N∗时单调递增，
可知当n=29时，EX=1−≈1−；
当n=30时，EX=1−≈1−；
当n=31时，EX=1−≈1−
若抽取次数的期望值不超过23，则n的最大值为30.
18．【解析】（1）椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，
当l⊥x轴时，AB=3，所以点1,±32在椭圆上，
依题意e=ca=321a2+34b2=1c2+b2=a2，解得b=1，a=2，c=3，
∴椭圆C的方程为x24+y2=1；
（2）设圆心P0,m,A(x1,y1),B(x2,y2),F−3,0,
显然直线l的斜率存在，设l:y=k(x−1)，
由|PA|2=|PB|2=|PF|2，则x12+y1−m2=m2+3，
又x12=41−y12，代入得到：3y12+2my1−1=0，
同理可得3y22+2my2−1=0，
则y1,y2分别是3y2+2my−1=0的两根，
由韦达定理可得y1y2=−13，
又联立l:y=k(x−1)与x24+y2=1，
得(4k2+1)x2−8k2x+4k2−4=0，
∴x1+x2=8k24k2+1,x1x2=4k2−44k2+1，
所以y1y2=k2x1x2−x1+x2+1=k24k2−44k2+1−8k24k2+1+1=−3k24k2+1,
故−3k24k2+1=−13解得k=±55，
直线l的斜率为k=±55，
19.【解析】
（1）
，
是的"下位序列"；
（2）是的“下位序列”，
，
，，，均为正数，
故，
即，
，
同理，
综上所述：；
（3）由已知得，
因为为整数，
故，
，
，
该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立，
，
所以正整数的最小值为.
X
1
2
3
⋯
n−1
n
P
p
1−pp
(1−p)2p
⋯
(1−p)n−2p
(1−p)n−1