【高考数学】22道压轴题：导数及其应用（练习及参考答案）

这是一份【高考数学】22道压轴题：导数及其应用（练习及参考答案），共31页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，，已知函数的图像在处的切线过点，已知函数，，，设函数，已知函数，为自然对数的底数．等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数.
（1）若函数有零点，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，.
2.已知函数（），（）.
（1）讨论的单调性；
（2）设，，若（）是的两个零点，且，试问曲线在点处的切线能否与轴平行？请说明理由.
3.已知函数（）
（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；
（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值.
4.已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：，
5.已知函数f（x）= ﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．
6.已知函数的图像在处的切线过点.
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，，证明：.
7.已知函数，，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
8.设函数
（1）求的单调区间；
（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.
9.设函数.
（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；
（2）若函数的定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意的正整数，.
10.已知函数（且），为自然对数的底数．
（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；
（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．
11.已知函数，.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）设，且有两个极值，其中，求的最小值.
12.已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．
13.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
14.已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图像的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图像有两个交点，求证：
15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为．
（Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围；
（Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？
16.已知.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
17.已知函数恰有两个极值点，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
18.已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．
19.已知函数（）.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：当时，.
20.已知函数.
(1)当时，求在上的值域；
(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围.
21.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
22.已知函数在上为增函数，且.
（Ⅰ）求函数在其定义域内的极值；
（Ⅱ）若在上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1.（1）函数的定义域为.
由，得.
①当时，恒成立，函数在上单调递增，
又，
所以函数在定义域上有个零点.
②当时，则时，时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当.当，即时，又，
所以函数在定义域上有个零点.
综上所述实数的取值范围为.
另解：函数的定义域为.
由，得.
令，则.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故时，函数取得最大值.
因，两图像有交点得，
综上所述实数的取值范围为.
（2）要证明当时，，
即证明当时，，即.
令，则.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，.
于是，当时，. = 1 \* GB3 ①
令，则.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，.
于是，当时，. = 2 \* GB3 ②
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时，.
2.（Ⅰ）
(1)当时，，在单调递增，
当时， 有

(Ⅱ)
假设在处的切线能平行于轴.
∵
由假设及题意得：



④
由-得，
即
由④⑤得，
令，.则上式可化为，
设函数，则
,
所以函数在上单调递增.
于是，当时，有，即与⑥矛盾.
所以在处的切线不能平行于轴.
3.（Ⅰ）
∴ ①
∵
∴
由题 ②
由①②得
（Ⅱ）
所以
因为过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，
令切点是，
则切线方程为
由切线过点，所以有
∴
整理得
所以
,即为所求
4.（Ⅰ）
∴
（Ⅱ）
显然时有，只需证时，由于
所以当时，.
综上，
5.解：（Ⅰ）f（x）=﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），
求导，f′（x）=﹣a，
则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）=﹣a（x﹣e），
即y=﹣ax+e+b，
由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e，比较可得b=e，
实数b的值e；
（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，
则a≥﹣在[e，e2]，上有解，
设h（x）=﹣，x∈[e，e2]，
求导h′（x）=﹣==，
令p（x）=lnx﹣2，
∴x在[e，e2]时，p′（x）=﹣=＜0，
则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，
∴p（x）＜p（e）=lne﹣2＜0，
则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，
h（x）≥h（e2）=﹣=﹣，
∴实数a的取值范围[﹣，+∞]．
6.（1）由，得，
的方程为，又过点，
∴，解得.
∵，
∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
（2）证明：∵，∴，
，∴
令，，，令得；令得.∴在上递减，在上递增，
∴，∴，，解得：.
7.（1）当时，，，，
，从而曲线在处的切线为，即.
（2）对任意的，都有成立，从而
对，，从而在递减，递增，.
又，则.
下面证明当时，在恒成立.
，即证.
令，则，.
当时，，当时，，从而在递减，递增，，
从而时，在恒成立.
8.（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增
（2）由于a=1，

令，，
令，在单调递增，
且在上存在唯一零点，设此零点为，则
当时，，当时，
，
由，又
所以的最大值为2
9.（1）由,得．∴的定义域为．
因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．
解得．
经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．
（2）∵又函数在定义域上是单调函数，
∴或在上恒成立．
若，则在上恒成立,
即=恒成立,由此得；
若,则在上恒成立,
即=恒成立．
因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）当时，函数．令，
则．
当时，，所以函数在上单调递减．
又，当时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
而，．取，则有．
．所以结论成立．
10.解：（Ⅰ）当时，，，令，解得，
时，；时，，
∴，而，，
即．
（Ⅱ），，
令，得，则
①当时，，
所以当时，有最小值，
因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，
因为当时，，所以此方程无解．
②当时，，
所以当时，有最小值，
因为函数只有一个零点，且当和时，都有，
所以，即（）（*）
设，则，
令，得，
当时，；当时，；
所以当时，，所以方程（*）有且只有一解．
综上，时函数只有一个零点．
11.(1)由题意得F(x)= x－－2alnx. x0,=,
令m（x）=x２－2ax+1，
①当时F(x)在（0，+ QUOTE \* MERGEFORMAT 单调递增；
②当a1时，令，得x1=, x2=
∴F(x)的单增区间为(0,)，()
综上所述，当时F(x)的单增区间为（0，+）
当a1时，F(x)的单增区间为(0,)，()
（2）h(x)= x－2alnx, h/(x)=,(x>0),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根，
∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,
－=－=2()
令H(x)=2(), H/(x)=2()lnx=
当时，H/(x)