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山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷
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这是一份山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则实数（ ）
A．B．5C．D．1
5．直线与直线之间的距离是（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．圆与圆相交
C．直线的方程为D．直线l的方程为
10．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为D．的最大值为
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与相交于点
B．直线和轴围成的三角形的面积为
C．直线关于原点O对称的直线方程为
D．直线关于直线对称的直线方程为
12．已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为
D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为
三、填空题
13．直线在轴上的截距为 ．
14．已知，则向量与的夹角为 ．
15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ．
16．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ．
四、解答题
17．已知的三个顶点，分别是的中点．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求边的垂直平分线的斜截式方程．
18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
19．已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点．
(1)求圆的一般方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长．
20．已知椭圆的离心率是，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
21．如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．
参考答案：
1．C
2．A
3．D
4．A
5．C
6．A
7．D
8．B
9．BD
10．AD
11．AC
12．ACD
13．
14．
15．（）
16．/
17．(1)
(2)
【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.
（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.
【解析】（1）由于分别是的中点，所以，
所以，直线的方程为，即.
（2），所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的斜截式方程为.
18．(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.
（2）通过证明来证得结论成立.
【解析】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.
（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.
【解析】（1）设，由得，解得，则，
，所以圆的标准方程为，半径为，
所以圆的一般方程为.
（2）圆即，圆心为，半径为，
两点的距离为，而，所以两圆相交，
由、，
两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．
【解析】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD⊥平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；
（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.
【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，∴，
∵平面ABC，∴平面ABC，
以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，平面，故平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，∴，
取，则，，∴，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为；
②当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则实数（ ）
A．B．5C．D．1
5．直线与直线之间的距离是（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．圆与圆相交
C．直线的方程为D．直线l的方程为
10．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为D．的最大值为
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与相交于点
B．直线和轴围成的三角形的面积为
C．直线关于原点O对称的直线方程为
D．直线关于直线对称的直线方程为
12．已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为
D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为
三、填空题
13．直线在轴上的截距为 ．
14．已知，则向量与的夹角为 ．
15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ．
16．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ．
四、解答题
17．已知的三个顶点，分别是的中点．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求边的垂直平分线的斜截式方程．
18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
19．已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点．
(1)求圆的一般方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长．
20．已知椭圆的离心率是，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
21．如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．
参考答案：
1．C
2．A
3．D
4．A
5．C
6．A
7．D
8．B
9．BD
10．AD
11．AC
12．ACD
13．
14．
15．（）
16．/
17．(1)
(2)
【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.
（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.
【解析】（1）由于分别是的中点，所以，
所以，直线的方程为，即.
（2），所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的斜截式方程为.
18．(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.
（2）通过证明来证得结论成立.
【解析】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.
（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.
【解析】（1）设，由得，解得，则，
，所以圆的标准方程为，半径为，
所以圆的一般方程为.
（2）圆即，圆心为，半径为，
两点的距离为，而，所以两圆相交，
由、，
两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．
【解析】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD⊥平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；
（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.
【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，∴，
∵平面ABC，∴平面ABC，
以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，平面，故平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，∴，
取，则，，∴，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为；
②当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．
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