2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学手拉手模型专项训练试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学手拉手模型专项训练试题【含答案】，共32页。

A．6B．6C．4+2D．3
2．如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝，PB＝4．则DP的最大值为（ ）
A．4+2B．4+C．5D．6
3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．4.5
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5B．2.5C．D．1
二．填空题（共10小题）
5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，连接BD，则线段BD的长为 ．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为边在△ABC下方作△ADC，连接BD，已知AD＝3，DC＝6，则BD的最大值为 ．
​
7．如图，D是等边三角形△ABC外一点，AD＝5，CD＝3，当BD长最大时，△ABC的面积为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，点D是△ABC外一点，若CD＝3，BD＝5，∠BDC＝75°，则线段AD的长为 ．
9．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
10．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线BD的中点，点E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，OF＝2，AF＝，则正方形ABCD的面积为 ．
11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，∠BAD＝105°，AD＝4，CD＝13，则AB＝ ．
12．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝ ．
13．如图，△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为 ．
14．在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，若BD＝3，DC＝1，则AD＝ ．
三．解答题（共8小题）
15．如图，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，BE与AD相交于点F．
（1）求∠AFE的度数．
（2）若AF⊥FC，求证：AF＝2BF．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以AC为边向外作等边△ACD，求BD的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，求AD的长．
18．【问题背景】
学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】
如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】
如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
19．在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°．
（1）如图1，已知∠D＝30°，直接写出∠A+∠C的度数；
（2）如图2，已知∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝4，连接BD，求BD的长度；
（3）如图3，已知∠ADC＝75°，BD＝6，请判断四边形ABCD的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．
20．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
（1）李明的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
21．阅读下面材料，完成任务．
如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的大小．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP'，可得△P'PB是等边三角形，而△P'PA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP'B＝150°，则∠BPC＝∠AP'B＝150°，
任务：
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC＝1
（1）求∠BPC的大小；
（2）求正方形ABCD的边长．
22．如图，在等边△ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证：PA2+PB2＝PC2．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，
∵△AOF是等腰直角三角形，
∴AO＝FO，AF＝AO，
∵∠BOC＝∠AOF＝90°，
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，
∴△AOB≌△FOC（SAS），
∴AB＝CF＝4，
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF，
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6，
∴AF的最大值为6，
∵AF＝AO，
∴AO的最大值为3．
故选：D．
2．【解答】解：过点A作AE⊥AP，使E、B在AP两侧，AP＝AE＝，连接BE，
∴PE＝＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠PAE+∠PAB＝∠BAD+∠PAB＝90°+∠PAB，
∴∠BAE＝∠PAD，
在△AEB和△APD中，
，
∴△AEB≌△APD（SAS），
∴DP＝BE，
∵BE≤PE+PB＝4+2＝6，
∴当点P落在线段BE上时，BE有最大值为6，
∴DP的最大值为6．
故选：D．
3．【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE．
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，
于是DE＝，
∴CD＝DE＝4．
故选：B．
4．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HM交CD于点N．
则△EFB≌△EHG，
∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴△EBH为等边三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，连接BH，EH，
则四边形HEPM为矩形，
∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝30°．
∵EC＝BC﹣BE＝3，
∴CP＝EC＝，
∴CM＝MP+CP＝1+＝，
即CG的最小值为．
方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，
则△CEG≌△EFH，
∴CG＝FH，
当FH⊥AB时，FH最小＝1+＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
5．【解答】解：∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠DAC＝60°，
∴把△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
如图，连接BE，作EH⊥BC与H，
∵△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
∴CE＝BD，AB＝AE，∠EAB＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBH＝60°，
在Rt△BEH中，BH＝BE＝1，EH＝BH＝，
在Rt△ECH中，∵EH＝，CH＝BC+BH＝3+1＝4，
∴CE＝＝，
∴BD＝．
故答案为．
6．【解答】解：如图，以CD为直角边点C为直角顶点作等腰直角三角形CDE，连接AE，
∴CD＝CE＝6，∠DCE＝90°，
∴DE＝CD＝6，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BCD＝90°+∠ACD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
∵AE≤AD+DE，
∴BD≤AD+DE，
∴BD≤3+6，
∴BD的最大值为3+6．
故答案为：3+6．
7．【解答】解：以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，∵AD＝5，DE＝CD＝3，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤8，
∴AE的最大值为8，
∴当A，D，E三点共线时，BD的值最大，且为8，
如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点B作BM⊥AC交AC于点M，
∵∠CDE＝∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∴，
∴，，
∴，
根据等边三角形的性质可得，，
∴△ABC中AC边上的高，
∴△ABC的面积为，
故答案为：．
8．【解答】解：以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F，
∴∠BFD＝90°，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵△CDE都是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝3，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵∠BDC＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝45°，
∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF＝45°，
∴BF＝DF＝＝＝5，
在Rt△BFE中，EF＝DF+DE＝5+3＝8，
∴BE＝＝＝，
∴AD＝BE＝，
故答案为：．
9．【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，
∵∠CAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，
∴△BCC'为等边三角形，
∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，
∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，
即∠DBC＝∠ABC'．
在△DBC和△ABC'中，
，
∴△DBC≌△ABC'（SAS）．
∴S△DBC＝S△C'AB，
过点B作BE⊥AD于点E，
∴BE＝AB•sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，
∴S△DBC＝＝＝10，
∴S△C'AB＝10．
故答案为：10．
10．【解答】解：连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，O为BD的中点，AC，BD为对角线，
∴O为对角线的交点，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，
∵OG⊥OF，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，
∴∠AOF＝∠DOG，
∵AF⊥DE，
∴∠FAO+∠2＝90°，
∵∠GDO+∠1＝90°，且∠1＝∠2，
∴∠FAO＝∠GDO，
在△AOF与△DOG中，
，
∴△AOF≌△DOG（ASA），
∴AF＝DG＝，OG＝OF＝2，
∴△OFG是直角三角形，
∴FG＝＝2，
∴FD＝FG+GD＝3，
在Rt△AFD中，
AD2＝FD2+AF2＝（3）2+（）2＝20，
∴正方形ABCD的面积为20．
故答案为：20．
11．【解答】解：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到△DEF，连接AF，AE，作AH⊥EF于H．
∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，
∴AE＝＝＝8，∠AED＝∠DAE＝45°，
∵∠DEF＝∠BAD＝105°，
∴∠AEF＝60°，
∵AH⊥EF，
∴EH＝AE＝4，AH＝EH＝4，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴AC∥DF，
∵AC＝BD，BD＝DF，
∴AC＝DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD＝13，
∴FH＝＝＝11，
∴EF＝FH+EH＝11+4＝15，
∴AB＝EF＝15，
故答案为15．
12．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，如图，
∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，
在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，
∴PC2+PE2＝CE2，
∴△PCE为直角三角形，∠CPE＝90°，
∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．
故答案为：135°．
13．【解答】解：如图，取BC中点G，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴AO＝BO＝3，∠BCO＝30°，∠ABC＝60°
∴BC＝6＝AB
∵点G是BC中点
∴CG＝BG＝3＝OA＝OB
∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE
∴∠ABC＝∠DBE
∴∠CBD＝∠ABE，且BE＝BD，BG＝OB＝3，
∴△BGD≌△BOE（SAS）
∴OE＝DG
∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小．
∵∠BCO＝30°，DG⊥OC
∴DG＝CG＝
∴OE的最小值为
故答案为：
14．【解答】解：方法一，
作AF⊥BC，
∵tan∠ABC＝1，tan∠CBD＝，
∴tan∠ABD＝tan（∠ABC﹣∠BCD）＝＝，
∴AE＝AB，即AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD＝1，
∴BF＝2，
∴DF＝1，
∵AD2＝AF2+DF2＝2，
∴AD＝．
方法二：
过点D作DF⊥AC，垂足为F，由∠BAC＝∠BDC＝90°，
得A、B、C、D四点共圆，所以tan∠DBC＝tan∠DAC＝，设DF＝x，AF＝3x，
CF＝x，在直角三角形DFC中，用勾股定理得到：x＝，所以AD＝．
三．解答题（共8小题）
15．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABD，
∴∠BFD＝∠ABD＝∠AFE＝60°，
（2）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH、CH，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH＝60°，AF＝AH，
∴∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，
即∠BAF＝∠CAH，
在△BAF和△CAH中，
，
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF；
又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠ABF＝∠CAF，
∴∠ACH＝∠CAF，
∴AF∥CH，
∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，
∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，
∴FH＝2CH，
∴AF＝2BF．
16．【解答】解：如图，以AB为边作等边三角形ABE，连接CE，过点E作EK垂直于CB延长线于点K．
∵△ABE与△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，
∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC＝BD，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBK＝60°，
∴∠BEK＝30°，
∴BK＝BE＝，
∴EK＝＝＝，
∴EC＝＝＝7，
∴BD＝EC＝7．
17．【解答】解：将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△BCE，连接AE，
∴∠ACE＝90°，AC＝CE，AD＝BE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝，∠EAC＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴BE＝，
∴AD＝BE＝10．
18．【解答】解：【问题背景】如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝4；
故答案为：∠DCE，△BCD≌△ACE（SAS），4；
【尝试应用】以A点为旋转中心，将△ABD绕A点顺时针旋转90°，得到△AEC，连接BE，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EBA＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝90°，
∵AB＝，
∴EB＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴BD＝EC＝2；
【拓展创新】以点D为旋转中心，将△ACD绕点D顺时针旋转120°，得到△BDF，连接AF，
∴AD＝DF，∠ADF＝120°，AC＝BF，
∴当A、B、F三点共线时，AF最大，此时AD最大，
∵AB＝4，AC＝8，
∴AF＝AB+BF＝AB+AC＝12，
过点D作DG⊥AF交于点G，
∵AD＝DF，∠ADF＝120°，
∴∠ADG＝60°，AG＝GF＝6，
∴AD＝＝4，
∴AD的最大值为4．
19．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，
∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；
（2）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ．
∴∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ．
∵∠CBD+∠ABD＝60°，
∴∠ABQ+∠ABD＝60°，即∠DBQ＝60°，
∴△DBQ是等边三角形，
∴BD＝DQ．
∵∠C+∠BAD＝270°，
∴∠BAQ+∠BAD＝270°，
∴∠DAQ＝90°，
∴；
（3）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH．
由（2）同理可证△BDH为等边三角形，
∴S四边形ABCD＝S△BAH+S△ABD＝S△DBH﹣S△ADH，
∴当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．
∵∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，
∴∠BAD+∠BCD＝∠BAD+∠BAH＝225°，
∴∠DAH＝135°．
∵DH＝DB＝6，
∴点A在定圆⊙O上运动，如图，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，
∴HK＝KD＝3．
∵AH＝AD，
∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°．
在HK上取点F，使得FH＝FA，如图，则△AKF是等腰直角三角形．
设AK＝FK＝x，则，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴，即四边形ABCD的面积最小值为．
20．【解答】解：（1）根据旋转可知：
△BP′A≌△BPC，
∴BP′＝BP，AP′＝PC＝1，
又∵∠P′BP＝60°，
∴△P′PB＝60°，
∴△P′PB是等边三角形，
∴∠1＝60°，PP′＝BP＝，
在△APP′中，AP′＝1，PP′＝，AP＝2，
12+（）2＝22，
即AP′2+P′P2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝60°+90°＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，
等边三角形ABC的边长为．
故答案为150°，150°，．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．
连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，
∵PB＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝，
∵12+22＝（）2，
即AP′2+PP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
即∠AP′P＝90°．
∴∠AP′B＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°．
又∵BP′＝，
∴EP′＝BE＝1，
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵BE＝1，AE＝2，
∴由勾股定理，得AB＝．
综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为．
答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为．
21．【解答】解：（1）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝；
在Rt△BP′P中，
∵BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°；（2分）
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP＝，
∵，即AP′2+PP′2＝AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝90°+45°＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．
（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，
∵∠BPC＝∠AP′B＝135°，
∴∠EP′B＝45°．
∴△BEP'是等腰直角三角形，
又∵，
∴EP′＝BE＝1，
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得．
即正方形ABCD的边长为．
22．【解答】证明：如图，将△PAB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB，连接PT．
∵BP＝BT，∠PBT＝60°，
∴△PBT是等边三角形，
∴PT＝PB，∠PTB＝60°，
由旋转的性质可知：△PAB≌△TCB，
∴∠APB＝∠CTB＝30°，PA＝CT，
∴∠PTC＝∠PTB+∠CTB＝60°+30°＝90°，
∴PC2＝PT2+CT2，
∵PB＝PT，PA＝CT，
∴PA2+PB2＝PC2．
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