江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年八上数学第一次月考试卷【含答案】

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年八上数学第一次月考试卷【含答案】，共30页。试卷主要包含了已知，如图，已知△ABC，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5
2．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
3．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为底的等腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的另外两个角的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
6．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．25°
7．下列说法正确的是（ ）
A．＝±3B．的立方根是2
C．＝D．的算术平方根是2
8．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长是（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
9．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
二．填空题（共9小题）
10．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|++﹣＝ ．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD．若∠EBD＝32°，则∠BCD的度数为 度．
12．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为 ．
13．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝54°，则∠A＝ °．
14．如图，在△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长，交BC于点G．若S△ABG：S△ACG＝2：3，且AC＝9，则AB的长为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的 两 端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ．
16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是 ．
17．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是 ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每条边都相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，且∠QAD＝30°，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，DE交AQ于点G，BE交AQ于点F．
（1）连接AE，求证：△AED为等边三角形；
（2）求∠ABE，∠BED的度数；
（3）若AB＝6，则FG的长为 ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
21．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．
（1）求证：AE是△ABC的一条特异线；
（2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数；
（3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）．
22．如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝ ；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝ ．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA＝ ．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
23．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
24．如图：Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝2cm，则BE＝ cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
26．如图，已知长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝18，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×3＝12+1.5＝13.5．
故选：D．
2．【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），故①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BDC＝∠BCD，∠BEA＝∠BAE，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，故②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，故④正确．
故选：D．
3．【解答】解：∵点P在AC上，
∴PA+PC＝AC，
而PB+PC＝AC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选：C．
4．【解答】解：∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，
∴点C在AB的中垂线上，
如图，点C的位置有两个，
故选：B．
5．【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°，∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故选：B．
6．【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB＝AD
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：C．
7．【解答】解：A、＝3，原说法错误，故不符合题意；
B、＝8，8的立方根是2，原说法正确，故符合题意；
C、＝|﹣2|＝2，＝﹣2，原说法错误，故不符合题意；
D、＝2，2的算术平方根是，原说法错误，故不符合题意，
故选：B．
8．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∴×AB×DE+AC×DF＝S△ABC＝28，即×20DE+×8DE＝28，解得DE＝2（cm）．
故选：C．
9．【解答】解：如图，∵△ABC≌△GCB≌△BAW≌△CDA≌△AEC≌△BAQ≌△ABF，
∴△ABC全等且仅有1条公共边的三角形共6个，
故选：B．
二．填空题（共9小题）
10．【解答】解：由题意可得：c＜a＜0＜b，|c|＞|b|，
∴c﹣a＜0，b+c＜0，
∴原式＝﹣a+（a﹣c）+（b+c）﹣（﹣c）
＝﹣a+a﹣c+b+c+c
＝b+c，
故答案为：b+c．
11．【解答】解：连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝EB＝EC＝EA，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∴∠BAD＝∠DEB，
∵DE＝BE，∠EBD＝32°，
∴∠EDB＝∠EBD＝32°，
∴∠DEB＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠DAB＝58°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BCD+∠DAB＝180°，
∴∠DCB＝180°﹣58°＝122°，
故答案为：122．
12．【解答】解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，
∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AH＝CH，
∴EA＝EC，故②正确；
∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；
设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，
则有 ，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，
∵EA＝EC，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC，
∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，
∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，
∵∠ACF＝∠BCF，
∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
13．【解答】解：在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠EDC，
∴∠B＝∠EDF＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
故答案为：72．
14．【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N．
由作图可知，AG平分∠BAC，
∵GM⊥AB，GN⊥AC，
∴GM＝GN，
∴＝＝，
∴＝，
∴AB＝6．
故答案为6．
15．【解答】解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
而正方形ABCD的面积为4×4＝16，4个扇形的面积为4×＝4π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为16﹣4π．
故答案为16﹣4π
16．【解答】解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM＝BM，
即BM+MN＝CM+MN＝CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB＝90°，CN是∠ACB的平分线，AN＝BN（三线合一），
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∵AB＝6，
∴BN＝AB＝3，
在△BCN中，由勾股定理得：CN＝＝＝3，即BM+MN的最小值是3．
故答案为3．
17．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．
故答案为：21：05
18．【解答】解：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE＝8，
∴CE＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
19．【解答】（1）证明：连接AE，如图1所示：
∵点D关于直线AQ的对称点为E，
∴AE＝AD，AQ垂直平分DE，
∴∠EAQ＝∠QAD＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴△AED是等边三角形；
（2）解：连接AE，如图1所示：
∵点D关于直线AQ的对称点为E，
∴AE＝AD，AQ垂直平分DE，
∴∠EAQ＝∠QAD＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴AE＝AB，
∴∠BAE＝30°+30°+90°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AED﹣∠AEB＝45°；
（2）由（1）得：AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴△AED是等边三角形，ED＝6，
∵AQ垂直平分DE，
∴EG＝3，∠FGE＝90°，
∵∠EAD＝30°，∠AEB＝15°，
∴∠EFG＝∠FEG＝45°，
∴EG＝FG＝3．
故答案为：3．
20．【解答】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠50°，∠BDA＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣120°＝10°；
∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°．
故答案为：10°，小；
（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC＝4时，△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝100°时，
∴∠ADC＝80°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC＝65°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝65°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
21．【解答】证明：（1）如图1中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．
（2）如图2中，
当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°，
如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，
如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）．
如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°
当CD为特异线时，不合题意．
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°，
（3）如图4，在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，
当AD是特异线，
①如果AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
②如果AD＝BD，AC＝CD，
∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠DAC＝2∠B，
∴∠BAC＝3∠B，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠BAC＝108°，
当BD是特异线，如图5，
当AD＝BD，BD＝BC，
∴∠BAD＝∠ABD，∠C＝∠BDC＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝36°，
当AD＝BD，CD＝BC，
同理可求：∠A＝，
综上所述：等腰三角形的顶角度数为90°，108°，36°，．
22．【解答】解：
（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30，∠C＝90°，
∴BC＝AB＝．
故填：；
（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，AD＝BD．
又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
∴△ACD的周长＝AC+AB＝3BD＝15cm．
故填：15cm；
（3）如图3，连接AD．
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴BE＝BD，AE＝AD，
∴BE：EA＝BD：AD，
又∵BD＝AD，
∴BE：AE＝3：1．
故填：3：1．
（4）BP＝2PQ．理由如下
∵△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CAD，∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ．
23．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：
∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2＝AC2，
∴（4a）2+（3a）2＝252，
∵a＞0，
解得a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
24．【解答】解：连接CE，
由勾股定理得，AB＝＝＝4，
∵DE是BC的中垂线，
∴EC＝EB＝4﹣AE，
由勾股定理得，AC2+AE2＝EC2，即32+AE2＝（4﹣AE）2，
解得，AE＝．
25．【解答】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵DB＝AB，
∴AD＝2AB＝4cm，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝4cm；
故答案为：4；
（3）解：BE⊥AD；理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∴B、D、E、C四点共圆，
∴∠DBE＝∠DCE＝90°，
∴BE⊥AD．
26．【解答】解：（1）∵长方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E为AD的中点，AD＝6cm，
∴AE＝3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP＝BQ＝1cm，BP＝3，
∴AE＝BP，
在△AEP和△BQP中，
，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP＝∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE＝90°，
故可得出∠BPQ+∠APE＝90°，即∠EPQ＝90°，
即EP⊥PQ．
（2）连接QE，由题意得：AP＝BQ＝t，BP＝4﹣t，CQ＝6﹣t，
SPEQ＝SABCD﹣SBPQ﹣SEDCQ﹣SAPE
＝AD×AB﹣AE×AP﹣BP×BQ﹣（DE+CQ）×CD
＝24﹣×3t﹣t（4﹣t）﹣×4（3+6﹣t）
＝﹣t+6．
（3）设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，
∴，
解得：，
即点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，
∴，
解得：（舍去）．
综上所述，点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等．
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