初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程教案，共10页。
课例编号
2020QJ07SXRJ058
学科
数学
年级
七年级
学期
第一学期
课题
实际问题与一元一次方程（七）——行程问题
教科书
书名：数学七年级上册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 年 月
教学人员
姓名
单位
授课教师
胡波平
北京师范大学附属实验中学
指导教师
黄婉华
北京市西城区教育研修学院
教学目标
教学目标：
1．熟练掌握时间、速度、路程之间的基本关系；并能通过划关键词，画线段图，列表格等方式不重不漏地找出行程问题中数量之间的相等关系。
2. 在具体问题的分析与解决的过程，经历利用字母表示未知量，借助图表寻找量与量之间的关系过程，体会“方程”是解决实际问题的有效模型．
3. 在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究的兴趣.
教学重点、难点：能通过数形结合的方式不重不漏地找出行程问题中隐蔽的数量关系，设恰当的未知数，建立方程模型。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习引入
1、行程问题三个基本量：速度、时间、路程。
2、三个量的基本关系及变形：
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
当知时间、速度、路程中的两个量时，可以通过基本关系及变形关系求出剩余的一个量。
3、练习：
已知速度为a千米/小时，时间为5小时，则路程为___ 5a _______千米。
已知时间为2小时，路程为m+30千米，则速度为____m+302_____千米/小时。
已知速度为30千米/小时，路程为2x-15千米，则时间为_2x-1530____小时。
例题讲解
例：小刚和小强分别从A,B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24 km,相遇后0.5h小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少?相遇后经过多少时间小强到达A地?
分析步骤：
首先我们要读题，在读第一遍题时，要边读边圈画题中的关键词语，通过读题我们得到的信息有：小刚和小强分别从A,B同时出发相向而行；这是行程问题中的相遇问题；行进过程分为两个阶段：相遇前和相遇后。
接下来，我们进行第二遍读题，并借助线段图，将题目中小刚和小强的行进过程以及量与量之间的数量关系直观地呈现出来。
如图，用一条线段表示A,B之间距离，小刚由左向右骑行，小强由右向左步行，在C处相遇。

“匀速”：两人速度全程都不变。
小刚相遇前速度=小刚相遇后速度①
“2h后相遇”：同时到达同一地点.
时间信息：小刚相遇前时间=小强相遇前时间=2h。
位置信息：小刚相遇前路程+小强相遇路程=A、B两地距离②
“相遇时小刚比小强多行进24 km”。
小刚相遇前路程-小强相遇前路程=24 km ③
“相遇后0.5h小刚到达B地”。
小刚相遇后路程=小强相遇前路程 ④
也有同学可能通过看图，在“小刚相遇后路程=小强相遇前路程④”的基础上得到“小刚0.5h所行路程=小强2h所行路程”,进而得到
“小刚的速度=小强的速度的4倍。”
此处“小刚的速度=4小强的速度。”和“小刚相遇后路程=小强相遇前路程④”的含义是相同的，用其中一个，不能重复使用。在此我们用图形上最直接得到的路程关系。“小刚相遇后路程=小强相遇前路程④”
含有未知量的相等关系有：
小刚相遇前速度=小刚相遇后速度①
小刚相遇前路程+小强相遇路程=A、B两地距离②
小刚相遇前路程-小强相遇前路程=24 km ③
小刚相遇后所行路程=小强相遇前所行路程 ④
小刚相遇前路程=小刚相遇前速度×2 ⑤
小强相遇前路程=小强相遇前速度×2 ⑥
小刚相遇后路程=小刚相遇后速度×0.5 ⑦
找到相等关系后，需要我们将所有量表示出来，同样借助表格梳理清楚。不难看出时间都已知，将其填入表格。
表格中呈现的未知量有六个，还有一个未知量是A、B两地距离。我们只能在其中选一个设为未知数，利用含未知量的相等关系将其它未知量用含该字母的式子表示出来。
设谁为未知数呢？先考虑问什么就设什么，即设速度，小刚的速度比小强的大，先考虑设小的速度即小强的速度。
（方法1）若设小强的速度为xkm/h，我们要将它看成已知量去表示别的未知量。从速度与速度的关系看，我们找出的相等关系中，含小强速度的，只能通过小强相遇前自己三个基本量的关系，来表示其它量。即“小强相遇前路程=小强相遇前速度×2 ⑥”得小强相遇前路程为2x km，用了的相等关系做好标记，再通过小强与小刚路程的关系表示与小刚有关的未知量。比如用“小刚相遇前路程-小强相遇前路程=24 km③ ”得小刚相遇前路程为2x+24 km，从路程与路程或距离的关系来看，与“小刚相遇前路程”有关的相等关系 “小刚相遇前路程+小强相遇前路程=A、B两地距离②”，但这个相等关系中“A、B两地距离”未知，没法表示。因此仍然用小刚相遇前自己三个基本量之间的关系“小刚相遇前路程=小刚相遇前速度×2 ⑤”得小刚相遇前的速度为2x+242km/h，再利用“小刚相遇前速度=小刚相遇后速度①”得相遇后的速度也为2x+242km/h，利用“小刚相遇后路程=小刚相遇后速度×0.5 ⑦ ”的小刚相遇后的路程为2x+242×0.5 km/h。填表过程中没有用过的相等关系“小刚相遇后所行路程=小强相遇前所行路程”⑤用来列方程.2x+242×0.5=2x
从整理表格，列方程的过程中，我们发现没有用到等量关系②，
小刚相遇前路程+小强相遇路程=A、B两地距离②
题目也没有问A、B两地距离，那我们在后面的分析中就不关注这个等量关系了。
（方法2）设小强的速度为xkm/h ，依次根据相等关系⑥④⑦①⑤填表。
根据“小刚相遇前路程-小强相遇前路程=24 km” ③列方程
4x0.5-2x=24
小结：对于表格中的6个未知量，在设小强的速度为xkm/h的情况下，还剩5个未知量，我们可以通过①③④⑤⑥⑦六个相等关系中任意5个来将这些未知量用含有x的式子表示出来，剩下的一个列方程。进而解方程求出未知数x的值，那么所有未知量就能求出来。因此实际问题中有几个未知量，就需要几个含未知量的相等关系，才能列方程求出这些未知量的值。如果增加考虑“A、B两地的距离”这一未知量，我们的相等关系就要增加②，仍然符合几个未知量，就有几个含未知量的相等关系，因此也是可以求解的。
由于本题，关于小刚的信息更多，可设小刚的速度为xkm/h。依次根据相等关系①⑤⑦③⑥填表。
根据“小刚相遇后所行路程=小强相遇前所行路程” ④得方程
0.5x=2x-24
解：设小刚的速度为xkm/h，则小刚相遇前行驶路程为2xkm，小强相遇前行驶路程为2x-24km，小刚相遇后的路程为0.5xkm，最后根据“小刚相遇后所行路程=小强相遇前所行路程”得方程：0.5x=2x-24
解方程0.5x=2x-24
0.5x-2x=24
-1.5x=-24
x=16
检验x=16是否是方程的解，保证计算正确。检验是否符合实际情况。
小强的速度为0.5x2=4km/h
相遇点距离A的距离为2×16=32(km)
所以小强相遇后到达A的时间为32÷4=8(h)
答：小刚的速度为16 km/h，小强的速度为4 km/h，相遇后经过8小时小强到达A地。
本节小结
现在我们小结一下本节课学习的主要内容。本节课我们主要学习了列方程解行程问题。
（1）列方程解行程问题的关键是理清行程中的每个过程， 线段图能直观地反应研究对象的运动过程，便于找出路程之间的相等关系。
（2）相等关系主要分两类：题目每句话中隐含的时间、路程、速度信息以及研究对象每个运动阶段的基本关系。
（3）有几个未知量就要找出几个含这些未知量的相等关系。
（4）表格能帮助我们清晰的整理出题目所有涉及的量，注意按对象、阶段、基本量来列表。在借助图表寻找数量之间的关系时，要设恰当未知量，用合适的相等关系列方程．这样可使所列的方程相对简单，接下来的解方程的过程也简捷些。
（5）列方程解决实际问题的难点是从实际问题到列出方程这个过程，下面我们一起总结这个过程的步骤和方法。
思考练习
练习：一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地出发去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度快30千米每小时，但轿车行驶一个小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果用两个小时才追上这辆卡车，求卡车的速度。
按步骤进行分析：
首先我们要读题，在读第一遍题时，要边读边圈画题中的关键词语，通过读题我们得到的信息有：卡车和轿车都从甲地出发，轿车追卡车；这是行程问题中的追及问题； 本题涉及卡车和轿车，卡车全程运动状态没有变化。而轿车运动状态分为两个阶段：故障前和故障后。
第二遍读题，逐句分析，画线段图，
“一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地出发去追这辆卡车”
“轿车的速度比卡车的速度快30千米每小时”
轿车故障前的速度=卡车速度+30千米每小时①
“但轿车行驶一个小时后突遇故障”
“修理15分钟后”
“又上路追这辆卡车，但速度减小了13”
轿车故障后的速度=轿车故障前速度×23 ②
结果用两个小时才追上这辆卡车 ”
追上：同一时间到达同一地点。用线段图呈现。
时间信息：两辆车又都行驶了两小时。
位置信息：两辆车的终点相同，由于全程起点相同，所以能得到全程两车路程相等。即
轿车的全部路程=卡车的全部路程
而卡车全程运动状态一致，而轿车的全路程由两段组成，前面的信息也是分段给的，我们将该相等关系换一个说法，得：
轿车故障前的路程+轿车故障后的路程=卡车的全部路程 ③
特别的：卡车全程，轿车故障前后都有自己的基本关系。
卡车的全部路程=卡车速度×时间
卡车全程时间为：2+1+14+2=214（h）
即卡车的全部路程=卡车速度×214 ④
轿车故障前路程=轿车故障前速度×1 ⑤
轿车故障后路程=轿车故障后速度×2 ⑥
检查相等关系漏、重。所有等量关系：
轿车故障前的速度=卡车速度+30千米每小时①
轿车故障后的速度=轿车故障前速度×23 ②
轿车故障前的路程+轿车故障后的路程=卡车的全部路程 ③
卡车的全部路程=卡车速度×214 ④
轿车故障前路程=轿车故障前速度×1 ⑤
轿车故障后路程=轿车故障后速度×2 ⑥
前三个，由题目关键信息得到，由于时间均为已知量，所以主要是速
度和路程的关系，也没有能互相推得的信息。后三个是由时间、速度、路程基本关系得到得相等关系。涉及轿车故障前后路程、速度以及卡车路程，六个未知量，六个相等关系。应该没有重复或漏掉的相等关系。
设未知数，列表格将所有量表示出来：
运动过程轿车和卡车两个对象，可以用纵向来表示；轿车运动过程分故障前后，在轿车下位纵向表示。时间、速度、路程三个基本量放在横向。
先讲已知得时间填入。
六个未知量中，设其中一个为未知数x，先考虑问什么，设什么。
（方法1）设卡车速度为xkm/h。利用相等关系①②④⑤⑥填表。
根据“轿车故障前的路程+轿车故障后的路程=卡车的全部路程”③
列出方程为：
x+30+23x+30×2=214x
相等关系③是关于“总量=各部分之和”的相等关系，用它列方程比较简单。本题也可以用其它相等关系列方程，大家可以课下试一试，在此不一一展开。
(方法2)本题也可以设间接未知量，如设轿车故障前速度为xkm/h。利用相等关系①②④⑤⑥填表。
根据“轿车故障前的路程+轿车故障后的路程=卡车的全部路程”③列出方程为：
x+43x=214x-30
方法2的方程比方法1简单。
六个未知量任意一个都可以设为未知数，应优先考虑能让其它未知量的表达式和方程简单的设法。在此也不一一列举。