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2024年人教版数学八年级上册同步讲义第十五章第01讲 分式（2份，原卷版+解析版）
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第01讲 分式知识点01 分式的概念 分式的概念：一般地，若A与B均是 整式 且B中含有 字母 ，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。 简单理解：分母中含有 字母 的式子就是分式。题型考点：①分式分判断。【即学即练1】1．下列各式m2﹣，，x，，，，属于分式的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：，是分式，共2个．故选：C．【即学即练2】2．代数式，，x2﹣，，，中，属于分式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：分式有：，，，，整式有：x，，x2﹣，分式有4个，故选：C．知识点02 分式有意义的条件分式有意义的条件：即要求分式的分母不能为 0 。即中， B 不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。 题型考点：①根据分式有意义的条件求值。【即学即练1】3．当x取什么值时，式子有意义（ ）A．x＝ B．x＝﹣5 C．x≠ D．x≠﹣5【解答】解：由题意可得x+5≠0，则x≠﹣5，故选：D．【即学即练2】4．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣7 ．【解答】解：∵分式有意义，∴x+7≠0，解得x≠﹣7．故答案为：x≠﹣7．【即学即练3】5．当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；B．∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；C．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；D．当x＝±1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；故选：B．知识点03 分式的值分式的值为0的条件：分式的值为0的条件为要求分子必须为 0 ，同时要求分母不为 0 。 即中，A ＝ 0，B ≠ 0。 对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。题型考点：①分式值为0的条件。【即学即练1】6．若分式的值为0，则x的值是（ ）A．0 B．1 C．1或0 D．0或﹣1【解答】解：根据题意得x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，，解得x＝0．故选：A．【即学即练2】7．分式的值为0，则x的值为（ ）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵分式的值为0，∴（x+2）（x+3）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是方程的解，故选：D．【即学即练3】8．若分式的值为0，则x的值为（ ）A．±3 B．0 C．﹣3 D．3【解答】解：由题意得，解得x＝3．故选：D．分式的值： 若分式的值是正的，则，即A与B同号；若分式的值是负的，则，即A与B异号。 题型考点：① 根据分式的值求取值范围。②根据式子的值求分式的值【即学即练1】9．若使分式的值为负数，则x可以取的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵x2+1＞0，∴当分式的值为负数时，2x﹣5＜0，解得x＜，故选：A．【即学即练2】10．若分式的值为整数，则正整数x的个数为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【解答】解：＝＝，∵分式的值为整数，∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，∴正整数x＝4或2或5或1或6或9，共6个，故选：B．【即学即练3】11．已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（ ）A．2 B． C．3 D．【解答】解：原式＝，把x+y＝5，xy＝2代入得：原式＝＝．故选：D．【即学即练4】12．已知，则的值是（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵＝x2+2+＝（x﹣）2+2+2＝4+2+2＝8，∴的值为，故选：C．知识点04 分式的性质分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于0 的整式，分式的值 不变 。式子表达： （A、B、C均是整式且C≠0）分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 两个 符号分式不会发生改变。即： 题型考点：①分式基本性质的应用。【即学即练1】13．下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、≠（m≠0），所以A选项不正确；B、若c＝0，则≠，所以B选项不正确；C、＝，所以C选项正确；D、＝，所以D选项不正确．故选：C．【即学即练2】14．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A． B． C． D．【解答】解：A．∵＝＝，∴≠，故本选项不符合题意；B．≠，故本选项不符合题意；C．＝≠，故本选项不符合题意；D．＝＝，故本选项符合题意；故选：D．【即学即练3】15．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定【解答】解：，所以分式的值不变．故选A．【即学即练4】16．把分式中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（ ）A．变为原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来 D．变为原来的25倍【解答】解：，∴分式的值不变，故选：B．题型01 分式的判定【典例1】下列各式：，，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，，是分式，故选：C．【典例2】下列各式：，，5，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：下列各式：，，5，中，分式有：，，，共有3个．故选：C．【典例3】下列各式：x2+5x，，，，其中分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：是分式，共1个，故选：A．【典例4】在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：在式子；；；；；；中，分式有：；；；，即分式有4个．故选：B．题型02 分式有意义的条件【典例1】要使分式有意义，则x应满足（ ）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1【解答】解：∵分式有意义，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故选：C．【典例2】要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故选：A．【典例3】要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣1且m≠1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1【解答】解：要使式子有意义，则m﹣1≠0，解得m≠1，故选：B．【典例4】下列分式中，有意义的条件为x≠2的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、∵有意义，∴2x﹣4≠0，解得x≠2，符合题意；B、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；C、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；D、∵有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1，不符合题意．故选：A．题型03 分式值为0的条件【典例1】当x______时，分式的值为0．（ ）A．x＝3 B．x＝1 C．x＝±3 D．x＝﹣3【解答】解：由题意得：，解得x＝﹣3．故选：D．【典例2】若分式的值为0，则x的值为（ ）A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2【解答】解：∵的值为0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1．故选：C．【典例3】如果分式的值为零，那么x等于（ ）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【典例4】若分式的值为0，则x的值为（ ）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4【解答】解：由题意得：，解得x＝8．故选：A．题型04 式子的求值问题【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）A．x为任意数 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤2【解答】解：∵x2+1＞0，要使分式的值为负数，即2x﹣4＜0，∴x＜2．故选：B．【典例2】若分式的值为正，则x的取值范围是（ ）A． B． C．，且x≠0 D．【解答】解：∵x2＞0，且x≠0，分式的值为正，∴2x+1＞0，∴，∴且x≠0．故选：C．【典例3】若分式的值为正整数，则整数x的值为 0，1 ．【解答】解：∵＝值为正整数，且x≠3，∴整数x的值为0，1．故答案为：0，1．【典例4】若y＝，则的值为（ ）A． B．﹣1 C． D．【解答】解：∵y＝，∴y﹣2xy＝x，∴y﹣x＝2xy，∴＝＝＝﹣，故选：D．【典例5】已知x2﹣3x﹣m＝0，则代数式的值是（ ）A．3 B．2 C． D．【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，则，故选：D．题型05 分式的性质【典例1】下列等式从左到右变形正确的是（ ）A．＝x B．＝1 C．＝﹣1 D．＝【解答】解：A．＝，故本选项不符合题意；B．＝1+，故本选项不符合题意；C．＝＝﹣1，故本选项符合题意；D．≠，故本选项不符合题意．故选：C．【典例2】根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变【解答】解：根据题意得：＝＝，即分式的值不改变．故选：D．【典例3】若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的【解答】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为：＝＝，即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，故选：C．【典例4】下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，故A不符合题意；B、＝，故B符合题意；C、≠，故C不符合题意；D、＝（a≠0），故D不符合题意；故选：B．【典例5】分式变形＝中的整式A＝ x2﹣2x ，变形的依据是 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 ．【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．故答案为：x2﹣2x，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．1．下列式子中是分式的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：，，是整式；是分式．故选：C．2．若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≠1【解答】解：∵不论x取任何数分式总有意义，∴x2﹣2x+m≠0，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，∴Δ＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，故选：B．3．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当x＝3时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能是整数 D．无论x为何值，的值总为正数【解答】解；A．当x＝3时，无意义，故A不符合题意．B．当x≠0时，有意义，故B不符合题意．C．当x＝4、0、﹣2、﹣6时，是整数，故C不符合题意．D．根据偶次方的非负性，得x2+1＞0，即无论x为何值，的值总为正数，故D符合题意．故选：D．4．下列结论：①无论a为何值，都有意义；②当a＝﹣1时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵a2≥0，∴a2+1≥1≠0，∴不论a为何值都有意义，故此结论正确；②∵当a＝﹣1时，∴a2﹣1＝1﹣1＝0，此时分式无意义，故此结论错误；③∵若的值为负，∴x﹣1＜0，∴x＜1，故此结论正确；④∵有意义，∴，解得x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．综上所述，其中正确的个数是2．故选：B．5．若，则的值为（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴b＝，则＝＝．故答案为：A．6．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以﹣1，A、＝；B、＝；C、＝﹣；D、＝1，故选：B．7．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式＝＝，约分后缩小到原来的，故选：C．8．已知三个数a、b、c满足，则的值是（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴＝5，＝6，＝7，∴＝5，+＝6，+＝7，∴2（）＝18，∴＝9，∴＝，故选：A．9．下列四个代数式1，π，x2﹣1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为 （答案不唯一） （只需写出一个即可）．【解答】解：分式为．故答案为：（答案不唯一）．10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则的值是 ﹣2 ．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，∴＝0﹣4+2＝﹣2．故答案为：﹣2．11．如果分式的值等于0，那么m＝ ﹣4 ．【解答】解：由题意得：|m|﹣4＝0且|m﹣4|≠0，∴m＝±4且x≠4，∴m的值为﹣4，故答案为：﹣4．12．已知的值为5，若分式中的x、y均变为原来的2倍，则的值为 10 ．【解答】解：∵＝5，∴＝＝＝2×5＝10，故答案为：10．13．已知a，b，c均是非零有理数，请完成下面的探索：（1）试求的值；（2）试求+的值；（3）请直接写出++的值．【解答】解：（1）当a为正数时，＝＝1；当a为负数时，＝＝﹣1；（2）当a＞0，b＞0时，；当a＜0，b＜0时，；当a＞0，b＜0时，；当a＜0，b＞0时，；（3）当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3；当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1+1﹣1＝1；当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1﹣1+1＝1；当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1；当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，则原式＝1，﹣1，3，﹣3．14．（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求+cd的值．（2）已知当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝5，则当x＝﹣1时，求代数式7+ax4﹣bx2﹣c的值．【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身，∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，0或1．∴+cd＝+cd＝+1＝1．（2）∵当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝﹣a+b+c＝5，∴当x＝﹣1时，7+ax4﹣bx2﹣c＝7+a﹣b﹣c＝7﹣（﹣a+b+c）＝7﹣5＝2．15．阅读下面的解答过程．计算：解：因为，，，，所以原式＝＝＝＝根据以上解题方法计算：（1）＝ （n为正整数）；（2）．（3）．【解答】解：（1）由题意得；故答案为：；（2）＝1﹣（+++…+）＝1﹣（+++…+）＝1﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣（1﹣）＝1﹣1+＝；（3）＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝×＝． 课程标准学习目标①分式的概念②分式有意义的条件③分式的性质掌握分式的概念并能够根据概念熟练解题。掌握分式有意义的条件，并能够熟练解决相应的题目。掌握分式的性质，能够熟练的应用分式性质进行约分和通分。
第01讲 分式知识点01 分式的概念 分式的概念：一般地，若A与B均是 整式 且B中含有 字母 ，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。 简单理解：分母中含有 字母 的式子就是分式。题型考点：①分式分判断。【即学即练1】1．下列各式m2﹣，，x，，，，属于分式的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：，是分式，共2个．故选：C．【即学即练2】2．代数式，，x2﹣，，，中，属于分式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：分式有：，，，，整式有：x，，x2﹣，分式有4个，故选：C．知识点02 分式有意义的条件分式有意义的条件：即要求分式的分母不能为 0 。即中， B 不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。 题型考点：①根据分式有意义的条件求值。【即学即练1】3．当x取什么值时，式子有意义（ ）A．x＝ B．x＝﹣5 C．x≠ D．x≠﹣5【解答】解：由题意可得x+5≠0，则x≠﹣5，故选：D．【即学即练2】4．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣7 ．【解答】解：∵分式有意义，∴x+7≠0，解得x≠﹣7．故答案为：x≠﹣7．【即学即练3】5．当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；B．∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；C．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；D．当x＝±1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；故选：B．知识点03 分式的值分式的值为0的条件：分式的值为0的条件为要求分子必须为 0 ，同时要求分母不为 0 。 即中，A ＝ 0，B ≠ 0。 对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。题型考点：①分式值为0的条件。【即学即练1】6．若分式的值为0，则x的值是（ ）A．0 B．1 C．1或0 D．0或﹣1【解答】解：根据题意得x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，，解得x＝0．故选：A．【即学即练2】7．分式的值为0，则x的值为（ ）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵分式的值为0，∴（x+2）（x+3）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是方程的解，故选：D．【即学即练3】8．若分式的值为0，则x的值为（ ）A．±3 B．0 C．﹣3 D．3【解答】解：由题意得，解得x＝3．故选：D．分式的值： 若分式的值是正的，则，即A与B同号；若分式的值是负的，则，即A与B异号。 题型考点：① 根据分式的值求取值范围。②根据式子的值求分式的值【即学即练1】9．若使分式的值为负数，则x可以取的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵x2+1＞0，∴当分式的值为负数时，2x﹣5＜0，解得x＜，故选：A．【即学即练2】10．若分式的值为整数，则正整数x的个数为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【解答】解：＝＝，∵分式的值为整数，∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，∴正整数x＝4或2或5或1或6或9，共6个，故选：B．【即学即练3】11．已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（ ）A．2 B． C．3 D．【解答】解：原式＝，把x+y＝5，xy＝2代入得：原式＝＝．故选：D．【即学即练4】12．已知，则的值是（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵＝x2+2+＝（x﹣）2+2+2＝4+2+2＝8，∴的值为，故选：C．知识点04 分式的性质分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于0 的整式，分式的值 不变 。式子表达： （A、B、C均是整式且C≠0）分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 两个 符号分式不会发生改变。即： 题型考点：①分式基本性质的应用。【即学即练1】13．下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、≠（m≠0），所以A选项不正确；B、若c＝0，则≠，所以B选项不正确；C、＝，所以C选项正确；D、＝，所以D选项不正确．故选：C．【即学即练2】14．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A． B． C． D．【解答】解：A．∵＝＝，∴≠，故本选项不符合题意；B．≠，故本选项不符合题意；C．＝≠，故本选项不符合题意；D．＝＝，故本选项符合题意；故选：D．【即学即练3】15．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定【解答】解：，所以分式的值不变．故选A．【即学即练4】16．把分式中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（ ）A．变为原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来 D．变为原来的25倍【解答】解：，∴分式的值不变，故选：B．题型01 分式的判定【典例1】下列各式：，，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，，是分式，故选：C．【典例2】下列各式：，，5，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：下列各式：，，5，中，分式有：，，，共有3个．故选：C．【典例3】下列各式：x2+5x，，，，其中分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：是分式，共1个，故选：A．【典例4】在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：在式子；；；；；；中，分式有：；；；，即分式有4个．故选：B．题型02 分式有意义的条件【典例1】要使分式有意义，则x应满足（ ）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1【解答】解：∵分式有意义，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故选：C．【典例2】要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故选：A．【典例3】要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣1且m≠1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1【解答】解：要使式子有意义，则m﹣1≠0，解得m≠1，故选：B．【典例4】下列分式中，有意义的条件为x≠2的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、∵有意义，∴2x﹣4≠0，解得x≠2，符合题意；B、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；C、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；D、∵有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1，不符合题意．故选：A．题型03 分式值为0的条件【典例1】当x______时，分式的值为0．（ ）A．x＝3 B．x＝1 C．x＝±3 D．x＝﹣3【解答】解：由题意得：，解得x＝﹣3．故选：D．【典例2】若分式的值为0，则x的值为（ ）A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2【解答】解：∵的值为0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1．故选：C．【典例3】如果分式的值为零，那么x等于（ ）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【典例4】若分式的值为0，则x的值为（ ）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4【解答】解：由题意得：，解得x＝8．故选：A．题型04 式子的求值问题【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）A．x为任意数 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤2【解答】解：∵x2+1＞0，要使分式的值为负数，即2x﹣4＜0，∴x＜2．故选：B．【典例2】若分式的值为正，则x的取值范围是（ ）A． B． C．，且x≠0 D．【解答】解：∵x2＞0，且x≠0，分式的值为正，∴2x+1＞0，∴，∴且x≠0．故选：C．【典例3】若分式的值为正整数，则整数x的值为 0，1 ．【解答】解：∵＝值为正整数，且x≠3，∴整数x的值为0，1．故答案为：0，1．【典例4】若y＝，则的值为（ ）A． B．﹣1 C． D．【解答】解：∵y＝，∴y﹣2xy＝x，∴y﹣x＝2xy，∴＝＝＝﹣，故选：D．【典例5】已知x2﹣3x﹣m＝0，则代数式的值是（ ）A．3 B．2 C． D．【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，则，故选：D．题型05 分式的性质【典例1】下列等式从左到右变形正确的是（ ）A．＝x B．＝1 C．＝﹣1 D．＝【解答】解：A．＝，故本选项不符合题意；B．＝1+，故本选项不符合题意；C．＝＝﹣1，故本选项符合题意；D．≠，故本选项不符合题意．故选：C．【典例2】根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变【解答】解：根据题意得：＝＝，即分式的值不改变．故选：D．【典例3】若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的【解答】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为：＝＝，即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，故选：C．【典例4】下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，故A不符合题意；B、＝，故B符合题意；C、≠，故C不符合题意；D、＝（a≠0），故D不符合题意；故选：B．【典例5】分式变形＝中的整式A＝ x2﹣2x ，变形的依据是 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 ．【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．故答案为：x2﹣2x，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．1．下列式子中是分式的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：，，是整式；是分式．故选：C．2．若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≠1【解答】解：∵不论x取任何数分式总有意义，∴x2﹣2x+m≠0，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，∴Δ＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，故选：B．3．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当x＝3时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能是整数 D．无论x为何值，的值总为正数【解答】解；A．当x＝3时，无意义，故A不符合题意．B．当x≠0时，有意义，故B不符合题意．C．当x＝4、0、﹣2、﹣6时，是整数，故C不符合题意．D．根据偶次方的非负性，得x2+1＞0，即无论x为何值，的值总为正数，故D符合题意．故选：D．4．下列结论：①无论a为何值，都有意义；②当a＝﹣1时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵a2≥0，∴a2+1≥1≠0，∴不论a为何值都有意义，故此结论正确；②∵当a＝﹣1时，∴a2﹣1＝1﹣1＝0，此时分式无意义，故此结论错误；③∵若的值为负，∴x﹣1＜0，∴x＜1，故此结论正确；④∵有意义，∴，解得x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．综上所述，其中正确的个数是2．故选：B．5．若，则的值为（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴b＝，则＝＝．故答案为：A．6．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以﹣1，A、＝；B、＝；C、＝﹣；D、＝1，故选：B．7．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式＝＝，约分后缩小到原来的，故选：C．8．已知三个数a、b、c满足，则的值是（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴＝5，＝6，＝7，∴＝5，+＝6，+＝7，∴2（）＝18，∴＝9，∴＝，故选：A．9．下列四个代数式1，π，x2﹣1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为 （答案不唯一） （只需写出一个即可）．【解答】解：分式为．故答案为：（答案不唯一）．10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则的值是 ﹣2 ．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，∴＝0﹣4+2＝﹣2．故答案为：﹣2．11．如果分式的值等于0，那么m＝ ﹣4 ．【解答】解：由题意得：|m|﹣4＝0且|m﹣4|≠0，∴m＝±4且x≠4，∴m的值为﹣4，故答案为：﹣4．12．已知的值为5，若分式中的x、y均变为原来的2倍，则的值为 10 ．【解答】解：∵＝5，∴＝＝＝2×5＝10，故答案为：10．13．已知a，b，c均是非零有理数，请完成下面的探索：（1）试求的值；（2）试求+的值；（3）请直接写出++的值．【解答】解：（1）当a为正数时，＝＝1；当a为负数时，＝＝﹣1；（2）当a＞0，b＞0时，；当a＜0，b＜0时，；当a＞0，b＜0时，；当a＜0，b＞0时，；（3）当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3；当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1+1﹣1＝1；当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1﹣1+1＝1；当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1；当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，则原式＝1，﹣1，3，﹣3．14．（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求+cd的值．（2）已知当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝5，则当x＝﹣1时，求代数式7+ax4﹣bx2﹣c的值．【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身，∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，0或1．∴+cd＝+cd＝+1＝1．（2）∵当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝﹣a+b+c＝5，∴当x＝﹣1时，7+ax4﹣bx2﹣c＝7+a﹣b﹣c＝7﹣（﹣a+b+c）＝7﹣5＝2．15．阅读下面的解答过程．计算：解：因为，，，，所以原式＝＝＝＝根据以上解题方法计算：（1）＝ （n为正整数）；（2）．（3）．【解答】解：（1）由题意得；故答案为：；（2）＝1﹣（+++…+）＝1﹣（+++…+）＝1﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣（1﹣）＝1﹣1+＝；（3）＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝×＝． 课程标准学习目标①分式的概念②分式有意义的条件③分式的性质掌握分式的概念并能够根据概念熟练解题。掌握分式有意义的条件，并能够熟练解决相应的题目。掌握分式的性质，能够熟练的应用分式性质进行约分和通分。
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