初中数学人教版（2024）七年级下册9.3 一元一次不等式组当堂达标检测题

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类型二：解“连续型”不等式组
类型三：解含有绝对值的不等式
类型四：解“分式型”不等式
类型五：一元一次不等式（组）的实际应用
类型一：解普通的不等式（组）
1．解不等式或者不等式组：
（1）3x﹣2≥1； （2）．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．
【解答】解：（1）3x﹣2≥1，
3x≥1+2，
3x≥3，
x≥1；
（2），
去括号，去分母，得，
解得，
即6＜x≤9．
2．解下列不等式（组）．
（1）x﹣4≤3（x﹣2）； （2）．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x﹣4≤3（x﹣2），
x﹣4≤3x﹣6，
x﹣3x≤﹣6+4，
﹣2x≤﹣2，
x≥1；
（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣6，
∴原不等式组的解集为：﹣6≤x＜2．
3．（1）解不等式；．
（2）解不等式组并用数轴表示不等式组的解集．
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
去分母得：2（2x﹣3）≤x+2，
去括号得：4x﹣6≤x+2，
移项得；4x﹣x≤2+6，
合并同类项得：3x≤8，
系数化为1得：；
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
4．解下列不等式或不等式组：
（1）3x﹣4≤2x． （2）解不等式组．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）3x﹣2x≤4，
x≤4．
（2），
由①得：；
由②得：x≤0；
则不等式组的解集为．
5．求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：
（1）﹣＞1； （2）．
【分析】（1）先根据解一元一次不等式的方法解答，然后在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）﹣＞1，
去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
移项及合并同类项，得：﹣11x＞11，
系数化为1，得：x＜﹣1，
其解集在数轴上表示如下：
；
（2），
解不等式①，得：x＞﹣6，
解不等式②，得：x＜6，
∴该不等式组的解集是﹣6＜x＜6，
其解集在数轴上表示如下：
．
6．解下列不等式（组）：
（1）6x﹣1＞9x﹣4． （2）．
【分析】（1）先移项，合并同类项，然后再将系数化为1即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）6x﹣1＞9x﹣4，
移项得：6x﹣9x＞1﹣4，
合并同类项得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1得：x＜1；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5．
7．计算：
（1）解不等式：3（1﹣2x）＜7﹣2（x﹣4），并将解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可；
（2）求出每个不等式的解集，再求公共解集即可．
【解答】解：（1）去括号得：3﹣6x＜7﹣2x+8，
移项得：﹣6x+2x＜7+8﹣3，
合并同类项得：﹣4x＜12，
两边同时除以﹣4得：x＞﹣3；
把解集表示在数轴上如下：
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
类型二：解“连续型”不等式组
8．不等式组2＜x﹣3≤7的解集是 5＜x≤10 ．
【分析】分别解出两个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3＞2，得：x＞5；
由x﹣3≤7，得：x≤10，
∴不等式组的解集为：5＜x≤10．
故答案为：5＜x≤10．
9．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2022＜x﹣y＜2024，则整数k值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【分析】先利用加减消元法推出x﹣y＝k﹣1，再由2022＜x﹣y＜2024推出2023＜k＜2025，据此可得答案．
【解答】解：，
①+②得：3x﹣3y＝3k﹣3，
∴x﹣y＝k﹣1，
∵2022＜x﹣y＜2024，
∴2022＜k﹣1＜2024，
∴2023＜k＜2025，
∴整数k值为2024，
故选：C．
10．满足不等式﹣1＜≤2的非负整数解的个数是（ ）个．
A．5B．4C．3D．无数
【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解即可．
【解答】解：由题意得，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得x≤3.5，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3.5，
非负整数解为0，1，2，3共4个，
故选：B．
11．若满足不等式﹣4＜2x﹣1＜8的最大整数解为a，最小整数解为b．则a+b之值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】不等式整理后求出x的范围，确定出最小、最大整数解进而求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】解：不等式整理得：﹣＜x＜，
最小整数解为x＝﹣1，最大整数解为x＝4，即a＝4，b＝﹣1，
则a+b＝4﹣1＝3，
故选：B．
类型三：解含有绝对值的不等式
12．【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3；
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
（1）不等式|x|≤5的解集为 ﹣5≤x≤5 ；
（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为 x≤0或x≥4 ；
（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为 ﹣5≤x≤3 ；
（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为 ﹣4.5＜x＜3.5 ；
（5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解；
（4）结合数轴，再根据绝对值的意义及数轴求解；
（5）根据绝对值的意义及数轴求解．
【解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5；
故答案为：﹣5≤x≤5；
（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4；
故答案为：x≤0或x≥4；
（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3；
故答案为：﹣5＜x＜3；
（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5；
故答案为：﹣4.5＜x＜3.5；
（5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5，
当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5，
∴|x+3|+|x﹣2|≥5，
∴a≤5．
13．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
（1）绝对值不等式|x|＞2的解集为 x＞2或x＜﹣2 ．
（2）求绝对值不等式|x﹣3|＞2的解集．
（3）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a﹣2b的值．
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（3）由|2x﹣1|＜a知﹣a＜2x﹣1＜a，据此得出，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x＞2或x＜﹣2，
故答案为：x＞2或x＜﹣2；
（2）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2或x﹣3＜﹣2，
解得x＞5或x＜1；
（3）∵|2x﹣1|＜a，
∴﹣a＜2x﹣1＜a，
解得，
∵解集为b＜x＜3，
∴，
解得，
则a﹣2b＝5+4＝9．
14．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题．
①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6．
②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．
（1）|x|＜2的解集为 ﹣2＜x＜2 ，|x|＞5的解集为 x＞5或x＜﹣5 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．
【分析】（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得x+y＝﹣m﹣1，再代入|x+y|≤3得到关于m的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的m的值即可．
【解答】解：（1）由阅读材料提供方法可得：|x|＜2的解集为﹣2＜x＜2；|x|＞5的解集为x＞5或x＜﹣5．
故答案为﹣2＜x＜2；x＞5或x＜﹣5．
（2）∵二元一次方程组，
∴①+②可得：3x+3y＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，
∵|x+y|≤3，
∴|﹣m+2|≤3，即|m﹣2|≤3，
∴﹣3≤m﹣2≤3，
∴﹣1≤m≤5，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1．
类型四：解“分式型”不等式
15．阅读下面材料：
分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
李阳在解分式不等式时，是这样思考的：
根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②．
解不等式组①得，
解不等式组②：不等式组无解，
所以原不等式的解集为．
请你参考李阳思考问题的方法，解分式不等式．
【分析】先根据有理数的除法法则得出①或②．再分别求解即可得出答案．
【解答】解：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②．
解不等式组①得x＞2，
解不等式组②：x≤，
所以原不等式的解集为x＞2或x≤．
16．阅读下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
（a）若a＞0，b＞0，则，若a＜0，b＜0，则；
（b）若a＞0，b＜0，则，若a＜0，b＞0，则．
请解答下列问题：
（1）①若，则或 ；
②若，则 或 ；
（2）根据上述规律，求不等式的解集．
【分析】（1）根据两数相除，同号得正，异号得负解答；
（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【解答】解：（1）①若＞0，则或；
②若＜0，则或；
故答案为：；，；
（2）若＞0．
则①或②，
解不等式组①得：x＞2；
解不等式组②得：x＜﹣1，
所以不等式＞0的解集是x＞2或x＜﹣1．
17．感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜﹣．
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜﹣．
探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式＜0．
应用：不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是 ﹣5≤x≤3 ．
【分析】先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【解答】解：探究：＜0．
根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①，或②，
解不等式组①，得＜x＜2，
解不等式组②得此不等式组无解．
所以原分式不等式的解集为＜x＜2；
应用：（x﹣3）（x+5）≤0，
原不等式可化为不等式组：①或②，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得：﹣5≤x≤3，
所以不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3，
故答案为：﹣5≤x≤3．
18．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
（1）反之：若＞0，则或
若＜0，则 或 ．
（2）根据上述规律，求不等式＞0的解集．
（3）直接写出分式不等式的解集 x＞3或 ．
【分析】（1）根据两数相除，异号得负解答；
（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可；
（3）根据分式的意义把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【解答】解：（1）若＜0，则或；
故答案为：或；
（2）不等式转化为或，
所以，x＞2或x＜﹣1．
（3）不等式转化为0＜x﹣3＜3x﹣2或x﹣3＜3x﹣2＜0，
所以x＞3或，
故答案为x＞3或．
类型五：一元一次不等式（组）的实际应用
19．中央大街工艺品店销售冰墩墩徽章和冰墩墩摆件，若购买4个冰墩墩徽章和2个冰墩墩摆件需要130元，购买3个冰墩墩徽章和5个冰墩墩摆件需要220元，
（1）求每个冰墩墩徽章和每个冰墩墩摆件各需要多少钱？
（2）若某旅游团计划买冰墩墩徽章和冰墩墩摆件共50个，所用钱数不超过1150元，则该旅游团至少买多少个冰墩墩徽章？
【分析】（1）设每个冰墩墩徽章x元，每个冰墩墩摆件y元，根据“购买4个冰墩墩徽章和2个冰墩墩摆件需要130元，购买3个冰墩墩徽章和5个冰墩墩摆件需要220元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该旅游团购买m个冰墩墩徽章，则购买（50﹣m）个冰墩墩摆件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1150元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个冰墩墩徽章x元，每个冰墩墩摆件y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个冰墩墩徽章15元，每个冰墩墩摆件35元；
（2）设该旅游团购买m个冰墩墩徽章，则购买（50﹣m）个冰墩墩摆件，
根据题意得：15m+35（50﹣m）≤1150，
解得：m≥30，
∴m的最小值为30．
答：该旅游团至少买30个冰墩墩徽章．
20．文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋．如果购进5个圆规和10个笔袋，那么需花费130元；如果购进20个圆规和30个笔袋，那么需花费440元．
（1）求每个圆规和每个笔袋的进价．
（2）该文具店决定购进圆规和笔袋共100个，且总费用不超过920元，那么该文具店最多可以购进多少个圆规？
【分析】（1）设每个圆规的进价是x元，每个笔袋的进价是y元，根据“购进5个圆规和10个笔袋，需花费130元；购进20个圆规和30个笔袋，需花费440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该文具店购进m个圆规，则购进（100﹣m）个笔袋，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不超过920元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个圆规的进价是x元，每个笔袋的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个圆规的进价是10元，每个笔袋的进价是8元；
（2）设该文具店购进m个圆规，则购进（100﹣m）个笔袋，
根据题意得：10m+8（100﹣m）≤920，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：该文具店最多可以购进60个圆规．
21．为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．
（1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？
（2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？
【分析】（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，根据投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，根据该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，
根据题意得：＝，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．
答：研发一个A类科研项目所需的资金是300万元；
（2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，
根据题意得：300y+（300+75）（40﹣y）≤13200，
解得：y≥24，
∴y的最小值为24．
答：该公司投资研发A类科研项目至少是24个．
22．体育的兴衰与国家强盛息息相关，“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．党的十八大以来，全民健身事业在新时代经历了飞速发展，运动成为满足人民美好生活需要的重要组成，全民健身蔚然成风，正展开一幅盎然生机的时代画卷．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央高度重视关心体育工作，亲自谋划推动体育事业改革发展，将全民健身上升为国家战略，广泛开展全民健身运动，推动全民健身和全民健康深度融合．某街道为了响应国家号召决定对小区的健身器材进行升级，购买甲和乙两种健身器材，其中甲种器材每套500元，乙种器材每套460元．
（1）若购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各购买多少套？
（2）若购买甲和乙的健身器材共40套，且支出不超过19500元，求乙种健身器材至少要购买多少套？
【分析】（1）根据购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的套数为整数．
【解答】解：（1）设甲健身器材购买了a套，则乙健身器材购买了（40﹣a）套，
由题意可得：500a+460（40﹣a）＝18880，
解得a＝12，
∴40﹣a＝28，
答：甲健身器材购买了12套，乙健身器材购买了28套；
（2）设乙健身器材购买了x套，则甲健身器材购买了（40﹣x）套，
由题意可得：500（40﹣x）+460x≤19500，
解得x≥12.5，
∵x为整数，
∴x的最小值为13，
答：乙种健身器材至少要购买13套．
23．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值；
（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过90万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x，10﹣x均为自然数，即可得出各购买方案；
（3）根据每月要求处理的污水量不低于1840吨，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（2）的结论，可得出各购买方案，再求出各方案所需资金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：a的值是12，b的值是8；
（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备，
根据题意得：12x+8（10﹣x）≤90，
解得：x≤，
又∵x，10﹣x均为自然数，
∴x可以为0，1，2，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买10台B型设备；
方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；
方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；
（3）根据题意得：220x+180（10﹣x）≥1840，
解得：x≥1，
∴该公司共有2种购买方案，
方案1：购买1台A型设备，9台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×1+8×9＝84（万元）；
方案2：购买2台A型设备，8台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×2+8×8＝88（万元）．
∵84＜88，
∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备．
24．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，根据“购买乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种书柜的进价是180元，每个乙种书柜的进价是240元；
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，
根据题意得：，
解得：8≤m≤10，
又∵m为正整数，
∴m可以为8，9，10，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；
方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；
方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．
25．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金242万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金220万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）该县计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出改造方案？
【分析】（1）根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）列出不等式组，再解即可；
【解答】解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是x，y万元，
由题意得：，
解得，
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是66，88万元；
（2）设改造A类学校m所，则改造B类学校（6﹣m）所，
由题意得：，
解得，
∵m为正整数，
∴m＝4，
∴6﹣m＝6﹣4＝2，
故改造A类学校4所，改造B类学校2所．
26．中医药是中华民族的宝贵财富．为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知．明德麓谷学校开展“中草药种植进校园传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元．
（1）求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？
（2）若学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【分析】（1）设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，根据“每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由购进甲、乙两种中草药种子数量间的关系，可得出需购进甲种中草药种子（120﹣m）斤，根据“总费用低于8500元，且购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该学校共有3种购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每斤甲种中草药种子的价格是100元，每斤乙种中草药种子的价格是60元；
（2）∵学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，
∴需购进甲种中草药种子（120﹣m）斤．
根据题意得：，
解得：＜m≤90，
又∵m为正整数，
∴m可以为88，89，90，
∴该学校共有3种购买方案，
方案1：购买32斤甲种中草药种子，88斤乙种中草药种子，所需费用为100×32+60×88＝8480（元）；
方案2：购买31斤甲种中草药种子，89斤乙种中草药种子，所需费用为100×31+60×89＝8440（元）；
方案3：购买30斤甲种中草药种子，90斤乙种中草药种子，所需费用为100×30+60×90＝8400（元）．
∵8480＞8440＞8400，
∴最低费用是8400元．
答：该学校共有3种购买方案，最低费用是8400元．
27．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【分析】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可；
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有4种方案；
（3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可；
【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．
根据题意得：
解得：
故书籍和实验器材分别为240套，120套．
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．
根据题意得：
解得：0≤a≤4
又∵a取整数，
∴a＝0，1，2，3，4
8﹣a＝8，7，6，5，4，
∴共有5种方案，如下：
方案一：甲0辆，乙8辆
方案二：甲1辆，乙7辆
方案三：甲2辆，乙6辆
方案四：甲3辆，乙5辆
方案五：甲4辆，乙4辆
（3）方案一所需运费：1000×0+8×900＝7200（元）
方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元）
方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）
方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）
方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）
故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．
28．某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆．
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【分析】（1）设出老师有x人，学生有y人，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数；
（2）根据汽车总数不能超过（取整为8）辆，即可求出；
（3）设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可．
【解答】解：（1）设老师有x人，学生有y人，
依题意，得，
解得，
答：参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能超过8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
答：租用客车总数为8辆；
（3）设租a辆甲种客车，由题意可得：
，
解得1≤a≤3（a为整数），
∴共有3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900元；
方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆，租车费用3100元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
29．某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个，乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个，乙种纪念品30个，需要1200元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
（2）若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品数量大于38个，那么该商店有几种进货方案？
（3）若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，然后根据题意建立二元 次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品 个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【解答】解：（1）设我校购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，由题意，得
，
∴解方程组得：，
答：购进一件甲种纪念品需要15元，购进一件乙种纪念品需要30元．
（2）设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品 个，
根据题意得，
解得：120≤x＜124，
∵x为正整数，∴x＝120，121，122，123，
当x＝120时，，
当x＝121时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当x＝122时，；
当x＝123时，，不是整数，不符合题意，舍去，
答：该商店有2种进货方案；
（3）∵销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，
由（2）可知，方案一：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品40个，则利润为120×5+40x6＝840；
方案二：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，则利润为122×5+39×6＝844；
∵840＜844，
∴方案二：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，获利最大，最大利润是844元
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨/月）
220
180
客车
甲种
乙种
载客量/（人/辆）
30
42
租金（元/辆）
300
400