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人教版数学七年级上册同步讲义+练习第四章第03讲 角（2份，原卷版+解析版）
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第03讲 角 知识点01 角的认识与表示角的定义：静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。角的图示与组成：角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。角的边：组成角的 两条射线 是角的边。角的表示方法： 图1 图2角的符号：∠表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况）表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。（方法2与方法3适用于任意角） 题型考点：①角的表示。②确定角的数量。【即学即练1】1．下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：要是能用∠1，∠O表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合．选项B、C，D中，∠O表示不明确，不符合题意；选项A符合题意，故选：A．【即学即练2】2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【即学即练3】3．如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（ ）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，故选：D．【即学即练4】4．在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）A．165 B．186 C．199 D．210【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），∴画19条不同射线，可得锐角×（19+1）×（19+2）＝210．故选：D．知识点02 角的单位与换算角的单位：角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。 把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。角的单位换算： 1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ 。若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。题型考点：①单位的换算。【即学即练1】5．把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（ ）A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°【解答】解：∵1′＝60″，∴36″＝0.6′，∵1°＝60′，∴12.6′＝0.21°，∴40°12′36″＝40.21°，故选：B．【即学即练2】6．把7.26°用度、分、秒表示正确的是（ ）A．7°2′12″ B．7°2′6″ C．7°15′36″ D．7°15′6″【解答】解：∵1°＝60′，∴0.26°＝15.6′，∵1′＝60″，∴0.6＝36″，∴7.26°＝7°15′36″，故选：C．【即学即练3】7．35.15°＝ 35 ° 9 ′ 0 ″；12°15′36″＝ 12.26 °．【解答】解：∵0.15°＝9′，∴35.15°＝35°9′；∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，∴12°15′36″＝12.26°，故答案为：35，9，0；12.26．知识点03 角的度量与大小比较量角器的认识： 如图：测量角度数的工具是 量角器 。它是由一个 中心 和两条 0刻度线 以及刻度组成。角度量方法： 把量角器的中心与角的 顶点 重合，其中一条0刻度线与 角的其中一条边 重合，另一条边所在刻度即为角的度数。从重合的0刻度线读起。题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。【即学即练1】8．用量角器度量∠MON，下列操作正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，故选：D．【即学即练2】9．数学课上，小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中操作正确的是（ ）A．小明 B．小杰 C．小明和小杰 D．都不正确【解答】解：小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中小明和小杰的测量方式都是正确的，故选：C．角的大小比较方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。方法2：度量法：直角用量角器度量比较。注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。题型考点：①角的大小比较。【即学即练1】10．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．故选：D．【即学即练2】11．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（ ）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；故选：C．知识点04 角的计算钟面角的计算： 钟面上一大格表示 30° ，一小格表示 12° 。题型考点：①求钟面时针与分针夹角。【即学即练1】12．已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，∠AOC＝∠COD＝，∠AOB＝30°×＝10°，∴∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝30°+30°﹣10°＝50°．故选：B．【即学即练2】13．实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）A．105° B．110° C．115° D．120°【解答】解：由题意得：4×30°﹣10×0.5°＝120°﹣5°＝115°，故选：C．方向角：方向角通常用 南偏东 多少度， 南偏西 多少度， 北偏西 多少度， 北偏东 多少度来表示。题型考点：①方向角的表示【即学即练1】14．如图，下列说法中错误的是（ ）A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是东南方向【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；D、OD方向是东南方向，此选项正确．错误的只有A．故选：A．【即学即练2】15．如图，下面说法正确的是（ ）①书店在商场的南偏西45°方向400米处；②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【解答】解：①书店在商场的南偏西45°方向400米处，故①正确；②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处，故②正确；③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处，故③正确；④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的2.5倍，故④不正确；所以，上面说法正确的是①②③，故选：A．角的等分线： ①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线。反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。②角的三等分线：把角平均分成相等的三份。③角的四等分线：把角平均分成相等的四份。以此类推。角的和、差、倍、分计算： 角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。题型考点：①角度的计算。【即学即练1】16．如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（ ）°A．80 B．100 C．130 D．150【解答】解：∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，故选：A．【即学即练2】17．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴①正确；②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°，∴②错误；③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°∴OB平分∠COD，∴③正确；④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，∴④正确；故选：C．【即学即练3】18．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；故选：A．【即学即练4】19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°【即学即练5】20．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝AOB＝x，∴x﹣x＝20°，解得x＝40°，∴∠AOB＝3x＝120°．知识点05 余角和补角余角与补角的定义：如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。余角和补角的性质： 同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。一个角的补角比这个角的余角大 90° 。题型考点：①余角与补角有关的计算。【即学即练1】21．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）A．35°38' B．35°28' C．125°28' D．125°38'【解答】解：∵∠α＝54°32'，∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，故选：B．【即学即练2】22．若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（ ）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【解答】解：∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β＝90°，∵∠α＝72°30'，∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．故选：A．【即学即练3】23．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定【解答】解：设这个角的度数为α，则余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，由题意得，90°﹣α+（180°﹣α）＝180°，解得：α＝45°．故这个角是锐角，故选：A．【即学即练4】24．下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①互补且相等的两个角都是90°，原说法错误，不符合题意；②同角的余角相等，原说法正确，符合题意；③根据余角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误，不符合题意；④锐角的补角是钝角，原说法正确，符合题意；⑤锐角的补角比其余角大90°，原说法错误，不符合题意；综上分析可知，正确的有2个，故A正确．故选：A．题型01 角的数量规律【典例1】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（ ）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【解答】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有 ＝6个．故选：C．【典例2】如图所示，∠AOB＝90°，则图中锐角有（ ）A．12个 B．14个 C．15个 D．16个【解答】解：以OA为始边的锐角有4个，以OF为始边的锐角有4个，以OE为始边的锐角有3个，以OD为始边的锐角有2个，以OC为始边的锐角有1个，则图中锐角有：4+4+3+2+1＝14（个），故选：B．【典例3】如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）A．n（n+1） B． C． D．【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；图②：有4条射线，组成1+2+3个角；∴当有a条射线，组成个角；∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，∴组成个角．故选：B．【典例4】如图，在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有（ ）个角．A．465 B．450 C．425 D．300【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；……若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝（29+2）（29+1）＝465个角；故选：A．题型02 角的换算【典例1】若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．故选：C．【典例2】0.25°等于（ ）A．90′ B．60′ C．15′ D．360′【解答】解：0.25°＝（0.25×60）′＝15′，故选：C．【典例3】20°13' 12″化为用度表示是（ ）A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【典例4】下列运算正确的是（ ）A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．题型03 角的大小比较【典例1】若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【解答】解：∵1°＝60′；∴0.25°＝60′×0.25＝15′；∴∠C＝32°15′；∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．【典例2】如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定【解答】解：∵∠AOB＞∠COD，∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，即∠AOD＞∠BOC，故选：C．【典例3】若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，则有（ ）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【解答】解：∵∠A＝30.25°＝30°15'，∴∠C＞∠A＞∠B，故选：A．【典例4】如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）A．60° B．50° C．40° D．30°【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，∴30°＜∠AOB＜45°，故选：C．题型04 角的计算【典例1】如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（ ）A．50° B．75° C．100° D．120°【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝25°，∠AOB＝2∠AOC，∴∠AOB＝2∠AOC＝2（∠AOD+∠COD）＝2×（25°+25°）＝100°，故选：C．【典例2】如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．则∠AOE＝（ ）A．60° B．61° C．66° D．56°【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOD＝32°，∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣58°＝122°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×122°＝61°．故选：B．【典例3】如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．【典例4】如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∴，，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，∵∠CON＝2∠AOM，∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，设∠BOM＝x，∵OB平分∠AOC，∴α+x＝∠BON+2α，∴∠BON＝x﹣α，∵∠BOM：∠AOC＝2：5，∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，∴x＝4α，则∠BON＝3α，∴∠BOM：∠BON＝4：3．题型05 余角与补角【典例1】如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（ ）A．145° B．125° C．90° D．35°【解答】解：∵一个角的余角是55°，则这个角为35°，∴这个角的补角的度数是180°﹣35°＝145°．故选：A．【典例2】若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（ ）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∴∠1＝∠3．故选：D．【典例3】已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（ ）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，故选：C．【典例4】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【典例5】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（ ）A．180° B．90° C．45° D．无法确定【解答】解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，故选：B．1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（ ）A．40° B．140° C．130° D．50°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：由题意得：1.5×30°+10×0.5°＝45°+5°＝50°，故选：B．3．下列说法中正确的有（ ）①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离；③若点P使AP＝PB，则P是AB的中点；④1°＝3600′．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°，故①正确；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故②正确；③若点P在AB上，且使AP＝PB，则P是AB的中点，故③不正确；④1°＝60′，故④不正确；所以，上列说法中正确的有2个，故选：B．4．如图，∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为（ ）A．75° B．15° C．105° D．165°【解答】解：∵∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝105°，故选：C．5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：如图，根据题意可知，∠ABD＝45°，∠ACE＝80°，∵AD∥CE，∴∠ADB＝∠ACE＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣45°﹣80°＝55°．故选：B．6．如图，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，则下列等式中成立的有（ ）①∠COD＝∠AOD﹣∠BOC；②∠COD＝∠AOD﹣∠BOD；③2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：∵OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，∠COD＝∠BOD，∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∠AOC＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOD﹣∠BOC，故①正确；∵∠BOD≠∠BOC，∴∠COD≠∠AOD﹣∠BOD，故②错误；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴2∠AOD＝2（∠AOC+∠COD）＝∠AOB+2∠COD，∴2∠AOD﹣∠AOB＝∠AOB+2∠COD﹣∠AOB＝2∠COD，∴2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB，故③正确；∵，∴，故④错误；故选：B．7．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°【解答】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，∴∠BOC+∠2＝90°，∠BOC+∠4＝90°，∴∠2＝∠4，又∵∠1+∠4+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，故选：A．8．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”，如图（1），当OB平分∠AOC时，图（1）为角分图形．如图（2），点O是直线MN上一点，∠DON＝70°，射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转至OM1，设时间为t（0≤t≤36），当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为t＝29s，小亮认为t＝11s，你认为正确的答案为（ ）A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确【解答】解：∵∠DON＝70°，∴∠MOD＝180°﹣∠DON＝180°﹣70°＝110°，当OM1平分∠MOD时，则∠MOM1＝∠MOD＝×110°＝55°，∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝55÷5＝11（s），故小亮正确；当OM1平分∠DON时，则∠DOM1＝∠DON＝×70°＝35°，∴∠MOM1＝∠MOD+∠DOM1＝110°+35°＝145°．∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝145÷5＝29（s），故小明正确，但是，小明和小亮均忽略了当OM1平分∠MON的情况，∴当OM1平分∠MON时，则∠MOM1＝∠MON＝×180°＝90°，∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝90÷5＝18（s），综上所述：当t为11或18或29s时，图中存在角分图形．故选：D．9．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ 150° ．【解答】解：∵∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，则有∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠COD﹣∠BOD＝∠AOB+∠COD＝150°．10．102.43°＝ 102 度 25 分 48 秒．【解答】解：102.43°＝102度25分48秒．故答案为：102，25，48．11．如图，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ 70 °．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OD是∠COB的平分线，∴，故答案为：70．12．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 27° ．【解答】解：设这个角的度数为x．由题意得，90°﹣x＝．x＝27°．∴这个角为27°．故答案为：27°．13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．14．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ COD ；∠BOC的余角有 2 个（本身除外），分别是 ∠AOC和∠BOD ．【实践探究】（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：①求∠DOE的度数．②∠BOC的补角分别是： ∠AOC、∠BOD、∠AOD ．【解答】解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COB＝∠BOD＝45°，∴OB平分∠COD；∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，∴∠BOE＝1/3∠BOC＝1/2×45°＝15°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠AOC；∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠BOD；∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠AOD；综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．15．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，∴∠AOP＝20°，∴∠BOP＝40°，故答案为：40；（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，故答案为：135；②不变，∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，∴，，∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；③设∠MOC＝α，∵∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣α，∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，∴，∴α＝67.5°，∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，∴∠AOC＝90°． 课程标准学习目标①角的认识②角的单位与换算③角的度量与大小比较④角的计算⑤余角和补角掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，判断角。掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。
第03讲 角 知识点01 角的认识与表示角的定义：静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。角的图示与组成：角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。角的边：组成角的 两条射线 是角的边。角的表示方法： 图1 图2角的符号：∠表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况）表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。（方法2与方法3适用于任意角） 题型考点：①角的表示。②确定角的数量。【即学即练1】1．下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：要是能用∠1，∠O表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合．选项B、C，D中，∠O表示不明确，不符合题意；选项A符合题意，故选：A．【即学即练2】2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【即学即练3】3．如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（ ）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，故选：D．【即学即练4】4．在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）A．165 B．186 C．199 D．210【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），∴画19条不同射线，可得锐角×（19+1）×（19+2）＝210．故选：D．知识点02 角的单位与换算角的单位：角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。 把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。角的单位换算： 1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ 。若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。题型考点：①单位的换算。【即学即练1】5．把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（ ）A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°【解答】解：∵1′＝60″，∴36″＝0.6′，∵1°＝60′，∴12.6′＝0.21°，∴40°12′36″＝40.21°，故选：B．【即学即练2】6．把7.26°用度、分、秒表示正确的是（ ）A．7°2′12″ B．7°2′6″ C．7°15′36″ D．7°15′6″【解答】解：∵1°＝60′，∴0.26°＝15.6′，∵1′＝60″，∴0.6＝36″，∴7.26°＝7°15′36″，故选：C．【即学即练3】7．35.15°＝ 35 ° 9 ′ 0 ″；12°15′36″＝ 12.26 °．【解答】解：∵0.15°＝9′，∴35.15°＝35°9′；∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，∴12°15′36″＝12.26°，故答案为：35，9，0；12.26．知识点03 角的度量与大小比较量角器的认识： 如图：测量角度数的工具是 量角器 。它是由一个 中心 和两条 0刻度线 以及刻度组成。角度量方法： 把量角器的中心与角的 顶点 重合，其中一条0刻度线与 角的其中一条边 重合，另一条边所在刻度即为角的度数。从重合的0刻度线读起。题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。【即学即练1】8．用量角器度量∠MON，下列操作正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，故选：D．【即学即练2】9．数学课上，小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中操作正确的是（ ）A．小明 B．小杰 C．小明和小杰 D．都不正确【解答】解：小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中小明和小杰的测量方式都是正确的，故选：C．角的大小比较方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。方法2：度量法：直角用量角器度量比较。注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。题型考点：①角的大小比较。【即学即练1】10．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．故选：D．【即学即练2】11．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（ ）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；故选：C．知识点04 角的计算钟面角的计算： 钟面上一大格表示 30° ，一小格表示 12° 。题型考点：①求钟面时针与分针夹角。【即学即练1】12．已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，∠AOC＝∠COD＝，∠AOB＝30°×＝10°，∴∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝30°+30°﹣10°＝50°．故选：B．【即学即练2】13．实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）A．105° B．110° C．115° D．120°【解答】解：由题意得：4×30°﹣10×0.5°＝120°﹣5°＝115°，故选：C．方向角：方向角通常用 南偏东 多少度， 南偏西 多少度， 北偏西 多少度， 北偏东 多少度来表示。题型考点：①方向角的表示【即学即练1】14．如图，下列说法中错误的是（ ）A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是东南方向【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；D、OD方向是东南方向，此选项正确．错误的只有A．故选：A．【即学即练2】15．如图，下面说法正确的是（ ）①书店在商场的南偏西45°方向400米处；②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【解答】解：①书店在商场的南偏西45°方向400米处，故①正确；②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处，故②正确；③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处，故③正确；④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的2.5倍，故④不正确；所以，上面说法正确的是①②③，故选：A．角的等分线： ①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线。反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。②角的三等分线：把角平均分成相等的三份。③角的四等分线：把角平均分成相等的四份。以此类推。角的和、差、倍、分计算： 角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。题型考点：①角度的计算。【即学即练1】16．如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（ ）°A．80 B．100 C．130 D．150【解答】解：∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，故选：A．【即学即练2】17．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴①正确；②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°，∴②错误；③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°∴OB平分∠COD，∴③正确；④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，∴④正确；故选：C．【即学即练3】18．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；故选：A．【即学即练4】19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°【即学即练5】20．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝AOB＝x，∴x﹣x＝20°，解得x＝40°，∴∠AOB＝3x＝120°．知识点05 余角和补角余角与补角的定义：如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。余角和补角的性质： 同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。一个角的补角比这个角的余角大 90° 。题型考点：①余角与补角有关的计算。【即学即练1】21．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）A．35°38' B．35°28' C．125°28' D．125°38'【解答】解：∵∠α＝54°32'，∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，故选：B．【即学即练2】22．若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（ ）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【解答】解：∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β＝90°，∵∠α＝72°30'，∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．故选：A．【即学即练3】23．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定【解答】解：设这个角的度数为α，则余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，由题意得，90°﹣α+（180°﹣α）＝180°，解得：α＝45°．故这个角是锐角，故选：A．【即学即练4】24．下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①互补且相等的两个角都是90°，原说法错误，不符合题意；②同角的余角相等，原说法正确，符合题意；③根据余角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误，不符合题意；④锐角的补角是钝角，原说法正确，符合题意；⑤锐角的补角比其余角大90°，原说法错误，不符合题意；综上分析可知，正确的有2个，故A正确．故选：A．题型01 角的数量规律【典例1】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（ ）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【解答】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有 ＝6个．故选：C．【典例2】如图所示，∠AOB＝90°，则图中锐角有（ ）A．12个 B．14个 C．15个 D．16个【解答】解：以OA为始边的锐角有4个，以OF为始边的锐角有4个，以OE为始边的锐角有3个，以OD为始边的锐角有2个，以OC为始边的锐角有1个，则图中锐角有：4+4+3+2+1＝14（个），故选：B．【典例3】如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）A．n（n+1） B． C． D．【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；图②：有4条射线，组成1+2+3个角；∴当有a条射线，组成个角；∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，∴组成个角．故选：B．【典例4】如图，在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有（ ）个角．A．465 B．450 C．425 D．300【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；……若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝（29+2）（29+1）＝465个角；故选：A．题型02 角的换算【典例1】若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．故选：C．【典例2】0.25°等于（ ）A．90′ B．60′ C．15′ D．360′【解答】解：0.25°＝（0.25×60）′＝15′，故选：C．【典例3】20°13' 12″化为用度表示是（ ）A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【典例4】下列运算正确的是（ ）A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．题型03 角的大小比较【典例1】若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【解答】解：∵1°＝60′；∴0.25°＝60′×0.25＝15′；∴∠C＝32°15′；∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．【典例2】如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定【解答】解：∵∠AOB＞∠COD，∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，即∠AOD＞∠BOC，故选：C．【典例3】若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，则有（ ）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【解答】解：∵∠A＝30.25°＝30°15'，∴∠C＞∠A＞∠B，故选：A．【典例4】如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）A．60° B．50° C．40° D．30°【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，∴30°＜∠AOB＜45°，故选：C．题型04 角的计算【典例1】如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（ ）A．50° B．75° C．100° D．120°【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝25°，∠AOB＝2∠AOC，∴∠AOB＝2∠AOC＝2（∠AOD+∠COD）＝2×（25°+25°）＝100°，故选：C．【典例2】如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．则∠AOE＝（ ）A．60° B．61° C．66° D．56°【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOD＝32°，∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣58°＝122°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×122°＝61°．故选：B．【典例3】如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．【典例4】如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∴，，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，∵∠CON＝2∠AOM，∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，设∠BOM＝x，∵OB平分∠AOC，∴α+x＝∠BON+2α，∴∠BON＝x﹣α，∵∠BOM：∠AOC＝2：5，∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，∴x＝4α，则∠BON＝3α，∴∠BOM：∠BON＝4：3．题型05 余角与补角【典例1】如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（ ）A．145° B．125° C．90° D．35°【解答】解：∵一个角的余角是55°，则这个角为35°，∴这个角的补角的度数是180°﹣35°＝145°．故选：A．【典例2】若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（ ）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∴∠1＝∠3．故选：D．【典例3】已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（ ）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，故选：C．【典例4】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【典例5】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（ ）A．180° B．90° C．45° D．无法确定【解答】解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，故选：B．1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（ ）A．40° B．140° C．130° D．50°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：由题意得：1.5×30°+10×0.5°＝45°+5°＝50°，故选：B．3．下列说法中正确的有（ ）①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离；③若点P使AP＝PB，则P是AB的中点；④1°＝3600′．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°，故①正确；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故②正确；③若点P在AB上，且使AP＝PB，则P是AB的中点，故③不正确；④1°＝60′，故④不正确；所以，上列说法中正确的有2个，故选：B．4．如图，∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为（ ）A．75° B．15° C．105° D．165°【解答】解：∵∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝105°，故选：C．5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：如图，根据题意可知，∠ABD＝45°，∠ACE＝80°，∵AD∥CE，∴∠ADB＝∠ACE＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣45°﹣80°＝55°．故选：B．6．如图，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，则下列等式中成立的有（ ）①∠COD＝∠AOD﹣∠BOC；②∠COD＝∠AOD﹣∠BOD；③2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：∵OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，∠COD＝∠BOD，∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∠AOC＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOD﹣∠BOC，故①正确；∵∠BOD≠∠BOC，∴∠COD≠∠AOD﹣∠BOD，故②错误；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴2∠AOD＝2（∠AOC+∠COD）＝∠AOB+2∠COD，∴2∠AOD﹣∠AOB＝∠AOB+2∠COD﹣∠AOB＝2∠COD，∴2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB，故③正确；∵，∴，故④错误；故选：B．7．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°【解答】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，∴∠BOC+∠2＝90°，∠BOC+∠4＝90°，∴∠2＝∠4，又∵∠1+∠4+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，故选：A．8．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”，如图（1），当OB平分∠AOC时，图（1）为角分图形．如图（2），点O是直线MN上一点，∠DON＝70°，射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转至OM1，设时间为t（0≤t≤36），当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为t＝29s，小亮认为t＝11s，你认为正确的答案为（ ）A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确【解答】解：∵∠DON＝70°，∴∠MOD＝180°﹣∠DON＝180°﹣70°＝110°，当OM1平分∠MOD时，则∠MOM1＝∠MOD＝×110°＝55°，∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝55÷5＝11（s），故小亮正确；当OM1平分∠DON时，则∠DOM1＝∠DON＝×70°＝35°，∴∠MOM1＝∠MOD+∠DOM1＝110°+35°＝145°．∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝145÷5＝29（s），故小明正确，但是，小明和小亮均忽略了当OM1平分∠MON的情况，∴当OM1平分∠MON时，则∠MOM1＝∠MON＝×180°＝90°，∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，∴旋转所用的时间为：t＝90÷5＝18（s），综上所述：当t为11或18或29s时，图中存在角分图形．故选：D．9．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ 150° ．【解答】解：∵∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，则有∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠COD﹣∠BOD＝∠AOB+∠COD＝150°．10．102.43°＝ 102 度 25 分 48 秒．【解答】解：102.43°＝102度25分48秒．故答案为：102，25，48．11．如图，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ 70 °．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OD是∠COB的平分线，∴，故答案为：70．12．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 27° ．【解答】解：设这个角的度数为x．由题意得，90°﹣x＝．x＝27°．∴这个角为27°．故答案为：27°．13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．14．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ COD ；∠BOC的余角有 2 个（本身除外），分别是 ∠AOC和∠BOD ．【实践探究】（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：①求∠DOE的度数．②∠BOC的补角分别是： ∠AOC、∠BOD、∠AOD ．【解答】解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COB＝∠BOD＝45°，∴OB平分∠COD；∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，∴∠BOE＝1/3∠BOC＝1/2×45°＝15°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠AOC；∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠BOD；∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，∴∠BOC的补角是∠AOD；综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．15．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，∴∠AOP＝20°，∴∠BOP＝40°，故答案为：40；（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，故答案为：135；②不变，∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，∴，，∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；③设∠MOC＝α，∵∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣α，∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，∴，∴α＝67.5°，∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，∴∠AOC＝90°． 课程标准学习目标①角的认识②角的单位与换算③角的度量与大小比较④角的计算⑤余角和补角掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，判断角。掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。
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