2025中考数学二轮专题-二次函数取值范围-专项训练【含答案】

这是一份2025中考数学二轮专题-二次函数取值范围-专项训练【含答案】，共15页。试卷主要包含了若直线y＝b，若y与x的函数y＝等内容，欢迎下载使用。
1．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．0＜b≤1B．﹣1≤b＜0C．1≤b≤3D．1＜b≤2
2．若y与x的函数y＝（m﹣1）x2+（m+1）x﹣m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知二次函数y＝x2+bx+c中，其函数y是自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在此函数图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2．
4．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过点P（﹣1，y1）和点Q（m，y2）．若y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m＜3B．1＜m＜3C．m＜﹣1或m＞3D．m＜﹣1
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①③⑤D．①②③⑤
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；
②a+b+c＜0；
③5a+4c＜0；
④4ac﹣b2＞0；
⑤若P（﹣5，y），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b﹣2c＞0；④关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；⑤（a+c）2＜b2；⑥若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m＜3B．1＜m＜3C．m＜﹣1或m＞3D．m＜﹣1
二．填空题（共5小题）
9．抛物线y＝﹣x2+3mx+2的对称轴在y轴的右侧，点A（m，y1）和点B（m+1，y2）在该抛物线上，若y2＞y1＞2，则m的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（2m﹣4）x+1经过点（﹣m，y1），（m，y2），（m+1，y3）．若y2＜y3＜y1，则m的取值范围 ．
12．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是 ．
13．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象有两个公共点，则实数b的取值范围是 ．
三．解答题（共2小题）
14．附加题：已知直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x|2﹣4|x|+3的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象过点（﹣1，0）．
（1）若它的图象的对称轴为直线x＝1，求9a+3b+c的值；
（2）若点（3，0），（m，p），（4，q）是图象上的三个点，且p＜q，求m的取值范围；
（3）若对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6，求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵当x2﹣4x+3＝0时，x＝1或x＝3，
∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y＝|x2﹣4x+3|，函数值大于0，
当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y＝|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，
故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．
故选：A．
2．【解答】解：当m﹣1＝0，即m＝1时，函数为y＝2x﹣1，与坐标轴只有两个交点，
当m≠1时，∵Δ＝（m+1）2+4m（m﹣1）＝（m﹣1）2+4m2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∵函数y＝（m﹣1）x2+（m+1）x﹣m的图象与坐标轴只有两个交点，
∴图象经过原点，此时m＝0，
故符合题意的m的值有2个．
故选：B．
3．【解答】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵a＝1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故选：B．
4．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，点P（﹣1，y1），
∴点P（﹣1，y1）关于直线x＝1对称的点的坐标为（3，y1）．
∵抛物线经过点P（﹣1，y1）和点Q（m，y2）．y1＞y2，
∴m的取值范围是﹣1＜m＜3．
故选：A．
5．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，
故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴≤﹣3，
解得：a，
故④正确；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，
故⑤错误；
故选：B．
6．【解答】解：由图可知a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0；
①abc＜0，正确；
∵A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，
根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴②错误；
③y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，故③正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，故④错误；
P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，
∴x＝﹣1是对称轴，
∴与P点y值相等的点为（3，y1），
∵y1＞y2，
∴﹣5＜m＜3，故⑤正确．
故选：C．
7．【解答】解：由图可知a＞0，c＜0，
∵∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0；
①abc＜0，正确；
②因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，故②正确；
③y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，故③正确；
④ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a＝m，
∴ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，
Δ＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0，
∴关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤∵y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴图象过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，
∴（a+c）2＝b2，故⑤错误；
⑥P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，
∴x＝﹣1是对称轴，
∴与P点y值相等的点为（3，y1），
∵y1＞y2，
∴﹣5＜m＜3，故⑥正确．
故选：D．
8．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c，
∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1），
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），且y1＜y2，
∴m＜﹣1或m＞3，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
9．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+3mx+2的对称轴：＞0，即m＞0，
y1＝﹣m2+3m2+2＝2m2+2；y2＝﹣（m+1）2+3m（m+1）+2＝2m2+m+1，
∵y2＞y1＞2，
∴2m2+m+1＞2m2+2，
解得m＞1，
∵y1＞2，
∴2m2+2＞2，解得m＞0，
综上分析，m的取值范围是m＞1．
故答案为：m＞1．
10．【解答】解：当a＞0时，x＝﹣2时y≥3，x＝2时，y≥1，
∴．
∴a≥1．
当a＜0时，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴．
∴．
∴y＝﹣x+2．
联立方程组，
∴ax2﹣x﹣1＝0．
∴Δ＝+4a＞0．
∴a＞﹣．
∴﹣＜a＜0．
当x＝﹣2时，y≤3，
∴4a+4+1≤3．
∴a≤﹣．
∴﹣＜a≤﹣．
综上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣时，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点．
故答案为：或a≥1．
11．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣4）x+1，
∴该抛物线开口系数，对称轴为直线x＝﹣＝2﹣m，
当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+1，y3）从左至右分布，
∵y2＜y3＜y1，
∴，
解得＜m＜；
当m＜0时，
∴m＜﹣m＜﹣m+2，
∴y2＞y1，不合题意，
综上，m的取值范围是＜m＜；
故答案为：＜m＜．
12．【解答】解：∵当x2﹣4x+3＝0时，x＝1或x＝3，
∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y＝|x2﹣4x+3|，函数值大于0，
当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y＝|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，
故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．
13．【解答】解：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象如图所示，
由图象可知直线y＝b与这个函数图象有两个交点时，b＞1或b＝0．
故答案为b＞1或b＝0．
三．解答题（共2小题）
14．【解答】解：由函数y＝|x|2﹣4|x|+3，得：①x≥0时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
②x＜0时，y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．x＝0时y＝3；x＝±2时，顶点y＝﹣1．①和②的图象关于x＝0的直线成轴对称图形．
∵直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x|2﹣4|x|+3的图象至少有三个公共点，
∴实数b的取值范围﹣1＜b≤3．
15．【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＝0．
（2）∵抛物线经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点（4，q）关于对称轴的对称点坐标为（﹣2，q），
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵p＜q，
∴﹣2＜m＜4．
（3）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，整理得2x2﹣12x+18＝0，
解得x1＝x2＝3，
将x＝3代入y＝4x﹣12得y＝0，
∴直线y＝4x﹣12与抛物线y＝2x2﹣8x+12经过点（3，0），如图，
∵抛物线开口向上，经过（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过（3，0）时满足题意，即y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
令4x﹣12＝ax2﹣2ax﹣3a，整理得ax2﹣（2a+4）x﹣3a+12＝0，
当Δ＝0时，（2a+4）2﹣4a（﹣3a+12）＝0，
解得a＝1．声明：试题x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…