江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高一数学上第一次月考试卷【含答案】

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高一数学上第一次月考试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了设a＞0，b＞0，若函数f，下列命题中假命题有等内容，欢迎下载使用。
1．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．8D．4
2．若命题“∃x0∈R，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．0＜k＜1C．k≤1D．k≤0
3．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}
4．设集合A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，则b的值为（ ）
A．1B．C．1或D．﹣1
5．若函数f（x）＝+，则函数f（x﹣1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．[﹣2，0]C．[﹣1，1]D．[0，2]
6．若函数f（x）＝ax+1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（ ）
A．2B．2或﹣2C．3D．3或﹣3
7．已知﹣1≤x+y≤1，1≤x﹣y≤5，则3x﹣2y的取值范围是（ ）
A．[2，13]B．[3，13]C．[2，10]D．[5，10]
二．多选题（共5小题）
（多选）8．如图所示，全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则下列说法正确的是（ ）
A．阴影部分表示的集合是M的子集
B．阴影部分表示的集合是N的子集
C．阴影部分表示的范围是{x|﹣1≤x＜0}
D．阴影部分表示的范围是{x|﹣1＜x≤0}
（多选）9．下列命题中假命题有（ ）
A．∀x∈Z，x2+1＞0
B．“x＞2且y＞3”是“x+y＞5”的充要条件
C．∃x∈R，x2﹣x+1＜0
D．函数f（x）＝﹣x2+2x+2的值域为（﹣∞，+3]
（多选）10．已知正数a，b满足ab＝a+b+1，则（ ）
A．a+b的最小值为
B．ab的最小值为
C．的最小值为
D．2a+4b的最小值为
（多选）11．下列说法正确的有（ ）
A．任意非零实数a，b，都有
B．不等式的解集是
C．函数y＝x2﹣3x﹣4的零点是（4，0），（﹣1，0）
D．函数与g（x）＝x2﹣1为同一个函数
（多选）12．已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，则（ ）
A．x1x2+x1+x2＜0的解集为
B．x1x2+x1+x2的最小值为
C．不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为{x|a＜x＜3a}
D．的最小值为
三．填空题（共3小题）
13．设实数a，b满足：﹣3≤a+b≤5，1≤a﹣b≤7，则4a+2b的最大值是 ．
14．已知集合A＝{x|x2﹣mx+15＝0}，集合B＝{x|x2﹣5x+n＝0}，A∪B＝{2，3，5}，则m+n＝ ．
15．函数的值域是 ．
四．解答题（共4小题）
16．求下列函数的解析式
（1）设函数f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝16x+5，求f（x）的解析式；
（2）设f（x）满足，求f（x）的解析式．
17．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
18．已知函数．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设，若存在x∈[2，3]使f（x）﹣kx≤0成立，求实数k的取值范围．
19．已知函数，且f（1）＝2．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）求函数f（x）在[1，3）上的值域．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：由题意知3a•3b＝3，∴3a+b＝3，∴a+b＝1．
∵a＞0，b＞0，∴+＝（+）（a+b）＝2++≥2＝4．当且仅当a＝b＝时，等号成立．
故选：D．
2．【解答】解：因为命题“∃x0∈R，使得成立”是假命题，
可得命题“∀x∈R，使得k≤x2+1成立”是真命题，即k≤x2+1在x∈R恒成立，
因为x2+1≥1，即（x2+1）min＝1，所以k≤1，即实数k的取值范围（﹣∞，1]．
故选：C．
3．【解答】解：由不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
则a＜0且，
即，
由a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax，
整理得ax2+（b﹣2a）x+（a+c﹣b）＞0，
即ax2﹣3ax＞0，
即x2﹣3x＜0，
解得0＜x＜3，
即不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集是{x|0＜x＜3}，
故选：A．
4．【解答】解：集合A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，A＝B，
则或，解得或，
当b＝1时，不满足集合中元素的互异性，
当b＝时，满足题意，
故b＝．
故选：B．
5．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得﹣1≤x≤1．
由﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．
∴函数f（x﹣1）的定义域为[0，2]．
故选：D．
6．【解答】解：a＞0时，函数f（x）＝ax+1在区间[1，2]上单调递增，最大值与最小值的差为f（2）﹣f（1）＝（2a+1）﹣（a+1）＝2，解得a＝2；
a＜0时，函数f（x）＝ax+1在区间[1，2]上单调递减，最大值与最小值的差为f（1）﹣f（2）＝（a+1）﹣（2a+1）＝2，解得a＝﹣2；
a＝0时，函数f（x）＝ax+1在区间[1，2]上是常数，不满足题意；
所以实数a的值为2或﹣2．
故选：B．
7．【解答】解：设3x﹣2y＝m（x+y）+n（x﹣y）＝（m+n）x+（m﹣n）y，
则，解得：，可得3x﹣2y＝，
∵﹣1≤x+y≤1，1≤x﹣y≤5，∴，
故选：A．
二．多选题（共5小题）
8．【解答】解：由图可知，阴影部分表示的集合是N∩（∁UM），且N∩（∁UM）是N的子集
故A错误，B正确；
因为M＝{x|x＜﹣1}，所以∁UM＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，
所以N∩（∁UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故C正确，D错误．
故选：BC．
9．【解答】解：A：由∀x∈Z，则x2≥0，故x2+1≥1＞0，真命题；
B：显然x＝1，y＝5满足x+y＞5，但此时x＞2且y＞3不成立，假命题；
C：对于y＝x2﹣x+1，开口向上且Δ＝1﹣4＜0，则x2﹣x+1＞0恒成立，假命题；
D：f（x）＝﹣（x﹣1）2+3且开口向下，易知其值域为（﹣∞，+3]，真命题．
故选：BC．
10．【解答】解：对于A，正数a，b满足a+b+1＝ab，当且仅当a＝b时取等号，
解得a+b，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当a＝b时成立，B错误；
对于C，，当且仅当a＝b时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当a＝2b﹣1，即a＝3，b＝2等号成立，
所以，此时a＝2b，不能同时取等号，所以D错误．
故选：AC．
11．【解答】解：A：当＜0时，＝﹣[（﹣）+（﹣）]＝﹣2，当且仅当a＝b时取等号，故A错误，
B：解不等式＜0可得：﹣，所以不等式的解集为{x|﹣}，故B正确，
C：解方程x2﹣3x﹣4＝0可得：x＝4或﹣1，所以函数的零点为4或﹣1，故C错误，
D：函数f（x）＝＝x2﹣1，x∈R，函数g（x）＝x2﹣1，x∈R，所以函数f（x）与g（x）为同一函数，故D正确，
故选：BD．
12．【解答】解：解方程x2﹣4ax+3a2＝0可得：x＝a或3a（a＜0），
则由题意可得x1＝3a，x2＝a，
A：不等式化为3a2+4a＜0，则﹣＜a＜0，所以不等式的解集为{a|﹣＜a＜0}，故A正确，
B：3a2+4a＝3（a+）2﹣，因为a＜0，所以当a＝﹣时取得最小值为﹣，故B正确，
C：因为a＜0，所以3a＜a，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0的解集为{x|3a＜x＜a}，故C错误，
D：x＝4a+＝﹣[（﹣4a）+（﹣）]＝﹣，当且仅当a＝﹣时取得等号，故D错误，
故选：AB．
三．填空题（共3小题）
13．【解答】解：由题意不妨设4a+2b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，
则，解得，
所以4a+2b＝3（a+b）+（a﹣b），
注意到﹣3≤a+b≤5，1≤a﹣b≤7，
所以﹣9≤3（a+b）≤15，﹣8＝﹣9+1≤4a+2b＝3（a+b）+（a﹣b）≤15+7＝22，
所以当且仅当即时，4a+2b取得最大值22，
综上所述：4a+2b的最大值是22．
故答案为：22．
14．【解答】解：设方程x2﹣mx+15＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1，x2∈{2，3，5}，又x1•x2＝15，
故或者，
则x1+x2＝m＝8，
设x2﹣5x+n＝0两个根分别为x3，x4，
则x3，x4∈{2，3，5}，又x3+x4＝5，
故或者，
则x3•x4＝n＝6，
故m+n＝8+6＝14，
故答案为：14．
15．【解答】解：∵函数，
∴（y﹣1）x2+y+3＝0，
当y﹣1＝0时，方程不成立；
当y﹣1≠0时，Δ＝0﹣4（y﹣1）（y+3）≥0，
解得﹣3≤y≤1．
综上，函数的值域是[﹣3，1）．
故答案为：[﹣3，1）．
四．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）设一次函数f（x）的解析式为f（x）＝kx+b（k≠0），
则f（f（x））＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b＝16x+5，
所以，解得，或，
所以f（x）＝4x+1或．
（2）由①，
得②，
2×①﹣3×②得，
即．
17．【解答】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．
又，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；
（2）由题意得：x+2y＝30，
又，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
18．【解答】解：（1）解法一：∵，∴g（x）＝（x﹣1）2．
又，∴g（x）＝（x﹣1）2（x≥2）．
解法二：令，则x＝（t﹣2）2．由于，所以t≥2．
代入原式有g（t）＝（t﹣2）2+2（t﹣2）+1＝（t﹣1）2，
所以g（x）＝（x﹣1）2（x≥2）．
（2）∵，∴．
∵存在x∈[2，3]使f（x）﹣kx≤0成立，
∴在x∈[2，3]时有解．
令，由x∈[2，3]，得，
设h（t）＝t2﹣4t+1＝（t﹣2）2﹣3．
则函数h（t）的图象的对称轴方程为t＝2，
∴当时，函数h（t）取得最小值﹣．
∴k≥﹣，即k的取值范围为[﹣，+∞）．
19．【解答】解：（1）∵函数，且f（1）＝2．
∴，解得a＝1．
（2）由（1）得，
函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
证明：∀x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则，
∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递增函数．
（3）∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增函数，
∵[1，3）⊆[1，+∞），∴f（x）在[1，3）上是单调递增函数，
又，
∴f（x）在[1，3）上的值域是．
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