山东省济南市山东师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月数学期中模拟测试试题

这是一份山东省济南市山东师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月数学期中模拟测试试题，共14页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若“”是“”的充分条件，则是（ ）
A．第四象限角B．第三象限角C．第二象限角D．第一象限角
3．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若P为△ABC的重心，则B．若P为△ABC的外心，则
C．若P为△ABC的垂心，则D．若P为△ABC的内心，则
5．数列an满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．或D．或
7．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列命正确的是（ ）
A．当时，函数最大值为1
B．当时，函数最大值为0
C．若存在最大值，则
D．，在不可能递减
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小正周期为
C．曲线关于直线轴对称
D．当时，函数有个零点
11．1843年，Hamiltn在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Brughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（ ）
A．集合的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元，则有：
C．若，则有：
D．若非零元，则有：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数满足，则 .
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
14．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
16．（15分）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值．
17．（15分）已知函数.
(1)若函数有两个不同的极值点，求的取值范围;
(2)求函数的单调递减区间.
18．（17分）数列满足，的前n项和为，等差数列满足，等差数列前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前n和；
(3)是否存在正整数m，使得是或中的项．若有，请求出全部的m并说明理由；若没有，请给出证明．
19．（17分）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
(1)当时，已知集合，．分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由：
(2)当时，已知集合．若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中．若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
高三数学模拟参考答案：
1~4：CBAB
5．C
【详解】数列满足①，
当时，，即，
当时，②，
由②①得，
数列的所有奇数项，，
数列的所有偶数项，，
综上，数列的通项公式为.
记，
所以数列的前项和为：
，
由得，即，
因为，随着的增大而增大，
故当时，刚好满足，
所以，的最小值为.
故选：C.
6．D
【详解】记方程的两根为，
当时，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与和共有三个不同的交点，
由图可知，此时有，
即，得；
当时，，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与有三个不同的交点，
由图可知，此时，即，得.
综上，实数的取值范围为或.
故选：D

7．B
【详解】由题意得，.
令，则，
令，则，
令，则，当时，，
∴在上是减函数，且，，
∴，使得，
∴当时，，当时，，
∴在上为增函数，在为减函数.
∵，，
∴当时，，
∴在上为增函数.
∵，
∴，
∴.
②令，
则，
∴在上为增函数.
∵,
∴，
∴.
故选：B.
8．D
【详解】，，
，
显然不满足上式，所以，
令，则，
在上单调递增，
在区间2,3上单调递减，
且，
画出的图像，可知：.
故选：D
9．BC
【详解】A选项，时，在上单调递减，则；
在上单调递增，在上单调递减，
则.则时，函数最大值不存在，故A错误；
B选项，时，在上单调递减，则；
在上单调递增，在上单调递减，
则.则时，函数最大值为0，故B正确；
C选项，因在上单调递减，则；
若，则在上单调递增，则.
因，则，此时无最大值；
若，则在上单调递增，在上单调递减，
则，要使存在最大值，则，故C正确；
D选项，注意到当，时，在上单调递减，
故D错误.
故选：BC
10．BC
【详解】，
当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误；
因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；
因为，所以曲线y=fx关于直线轴对称，C选项正确；
令，得，则，
结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误；
故选：BC.
11．ACD
【详解】对于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，若，设，，则
，故C正确；
对于D，根据题目中的定义有，从而.
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
13．/
【详解】由，则，，
所以或，而，且，即，
所以，且，即，
，
令，则，，
当时，则在上递增；
当时，则在上递减；
故为的极大值点，
的最大值为.
故答案为：.
14．
【详解】由题意可知：函数为偶函数，且在上单调递减，所以函数在上单调递增.
所以.
若，上式恒成立；
若，则恒成立.
又（当且仅当即时取“”）.
所以.
故答案为：
15．（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列，
则有，解得，
所以
（2），，
所以数列的前n项和.
16．（1）因为
，
所以函数的最小正周期为.
令，，
即，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由题意，，
因为，所以，
由，即，
所以或或或，
即或或或，
所以.
17．（1）函数的定义域为，
求导得，
令，可得，
因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根，
所以，解得.
所以的取值范围为；
（2），
求导得
，
令，解得或，
当时，，由，可得，
函数在上单调递减，
当，，由，可得，函数无单调递减区间，
当，，由，可得，
函数在上单调递减，
当时，，由，可得，函数在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递减，
当时，函数无单调递减区间，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减.
18．（1）由题可知，当时，；
当时，得
因为
两式相减得
经检验，当时，
显然，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
所以
等差数列an的公差
所以
（2）由（1）可知，
因为，所以为奇数；
故为区间的奇数个数
显然为偶数
所以
所以
（3）由（1）可知，
所以
若是an或bn中的项
不妨令，则
则有
因为
所以
因为为数列an或bn中的项
所以的所有可能取值为
当时，得无解，所以不存在；
当时
得
令
得
令
显然为二次函数，开口向下，对称轴为
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减
得
因为
所以
所以的可能取值有
我们来验证，
当时，得，可得存在正整数解或，故满足；
当时，得，当为整数时，分子为整数，分母不能被3整除；所以无正整数解，故不满足；
当时，得，得存在正整数解，故满足；
综上所诉，，或.
19． （1）由，
显然只有唯一解，即，
所以为的完美子集；
同理，对于，，
令，
即，方程组的解不唯一，
比如，，为方程组的一组解，故不是的完美子集；
（2）由题意得，
所以，
由不是的完美子集，即方程组的解不唯一，
因为，
由集合的互异性得，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以或，
检验：
当时，存在，，，使得，
当时，因为，所以，，舍，
所以；
（3）假设存在不全为0的实数，，满足，
不妨设，则否则与假设矛盾，
由，得，
所以，
与，即矛盾，
所以假设不成立，所以．所以，
所以一定是完美集.