人教版数学八年级下册同步讲义+练习第十七章第03讲 勾股定理易错易混淆专题集训（2份，原卷版+解析版）

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第03讲 勾股定理易错易混淆专题集训一．勾股定理（共12小题）1．（2022秋•清苑区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）A． B．0.8 C．3﹣ D．【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，又∵CE＝3，∴CD＝3﹣，故选：C．2．（2023秋•东阳市期中）如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（　　）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】依据题意，证明△EAD≌△CAB（SAS），得出S4＝S△ABC＝24，证明△ABK≌△BGH（ASA），由全等三角形的性质得出S△ABK＝S△BGH，证出S△ABC＝S1，设S四边形ADHC＝x，S△BCK＝y，由勾股定理及正方形的性质可得出S2+S3＝S1，则可得出答案．【解答】解：由题意得，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB，∴△EAD≌△CAB（SAS）．∴S4＝S△ABC．又∵∠ABK＝∠BGH，∠KAB＝∠HBG，AB＝BG，∴△ABK≌△BGH（ASA）．∴S△ABK＝S△BGH．∴S△ABC+S△BCK＝S1+S△BCK．∴S△ABC＝S1＝S4．又由题意可设S四边形ADHC＝x，S△BCK＝y，∴，，．∵AC2+BC2＝AB2，∴S3+S4+x+S2+y＝S1+x+y+S△ABC．∴S3+S4+S2＝S1+S△ABC．又∵S△ABC＝S1＝S4，∴S3+S2＝S1．∴S2+S3＝S1．∴S2+S3﹣S1＝0．故选：D．3．（2023秋•海曙区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（　　）A．10 B．15 C．20 D．30【分析】依据题意，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM，通过证明S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2，依此即可求解．【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝SRt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝SRt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．4．（2023春•渠县校级期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　）A．225 B．250 C．275 D．300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可．【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝5x，∵△ABC的周长为12，∴3x+4x+5x＝12，解得：x＝1，∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，故选：D．5．（2023秋•龙华区期中）如图，以Rt△ABC的三边长向外作等边三角形，若，则图中阴影部分的面积是 　　．【分析】过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据勾股定理可得BC2+AC2＝AB2＝3，然后利用等边三角形的性质可得∠AFB＝60°，AF＝BF＝AB，从而可得∠BFG＝∠AFB＝30°，BG＝AB，进而可得FG＝AB，然后进行计算可得△ABF的面积＝AB2，同理可得：等边三角形DBG的面积＝BC2，等边三角形ACE的面积＝AC2，最后根据图中阴影部分的面积＝等边三角形DBG的面积+等边三角形ACE的面积+等边△ABF的面积，进行计算即可解答．【解答】解：过点F作FG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，AB＝，∴BC2+AC2＝AB2＝3，∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，AF＝BF＝AB，∴∠BFG＝∠AFB＝30°，BG＝AB，∴FG＝BG＝AB，∴△ABF的面积＝AB•FG＝AB•AB＝AB2，同理可得：等边三角形DBG的面积＝BC2，等边三角形ACE的面积＝AC2，∴图中阴影部分的面积＝等边三角形DBG的面积+等边三角形ACE的面积+等边△ABF的面积＝BC2+AC2+AB2，＝（BC2+AC2+AB2）＝×（3+3）＝，故答案为：．6．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 　18.5　．【分析】根据正方形的面积公式可得：AC＝4，AB＝AH＝5，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，最后根据四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积，进行计算即可解答．【解答】解：∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，S1＝16，S2＝25，∴AC＝4，AB＝AH＝5，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积＝AC•BC+AB•AH＝×4×3+×5×5＝6+12.5＝18.5，故答案为：18.5．7．（2023春•潜江月考）已知a是的整数部分，，其中b是整数，且0＜c＜1，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是 　2或2　．【分析】先估算出的值的范围，从而可得a＝2，再估算出2+的值的范围，从而可得b＝4，c＝﹣1，然后分两种情况：当b＝4为直角边时；当b＝4为斜边时，分别利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴的整数部分是2，∴a＝2，∵2＜＜3，∴4＜2+＜5，∵，其中b是整数，且0＜c＜1，∴b＝4，c＝2+﹣4＝﹣2，分两种情况：当b＝4为直角边时，∴第三边的长度＝＝＝2；当b＝4为斜边时，∴第三边的长度＝＝＝2；综上所述：第三边的长度是2或2，故答案为：2或2．8．（2023春•江门校级期中）两根木条的长度分别是4cm和5cm，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是 　cm或3cm　．【分析】分两种情况分别利用勾股定理列式计算即可：添加的木条作为斜边；添加的木条作为直角边．【解答】解：如果第三边为斜边，则其长度为：＝（cm）；如果第三边为直角边，则其长度为：＝3（cm）故答案为：cm或3cm．9．（2023春•鄂州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是 　192　cm2．【分析】设图中正方形的面积分别为A，B，C，D，E，F，根据勾股定理得A+B＝E，C+D＝F，E+F＝82＝64，从而解决问题．【解答】解：如图，设图中正方形的面积分别为A，B，C，D，E，F，由勾股定理得，A+B＝E，C+D＝F，E+F＝82＝64，∴图中所有正方形的面积的和64×3＝192（cm2），故答案为：192．10．（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．【分析】（1）根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；（2）根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数，∴，∴﹣1＜a＜，∵a为整数，∴a＝0，∴A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1）；（2）∵A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1），∴AB＝5，∵点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，∴AC＝AB＝5，∵AC＝，∴（m+4）2+16＝25，解得m1＝﹣1，m2＝﹣7．∴m的值为﹣1或﹣7．11．（2023春•福州期中）定义：若某三角形的三边长a，b，c满足ab+a2＝c2，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由；（2）若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度数；（2）如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A．证明：△ABC为“类勾股三角形”．【分析】（1）先设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a＝b＝c，然后进行计算可得：ab+a2＝a2+a2＝2a2＞c2，即可解答；（2）根据已知和“类勾股三角形”的定义可得AC•BC+AC2＝AB2，从而可得BC2+AC2＝AB2，进而可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答；（3）过点B作BG⊥AC，垂足为G，在GA上截取GD＝GC，连接BG，可得BG是CD的垂直平分线，从而可得BD＝BC＝a，进而可得∠C＝∠BDC＝2∠A，再利用三角形的外角性质可得∠A＝∠ABD，从而可得DA＝BD＝a，进而可得CD＝b﹣a，DG＝CG＝，然后利用线段的和差关系可得AG＝，最后分别在Rt△ABG和Rt△BGC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”，理由：设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a＝b＝c，∴ab+a2＝a2+a2＝2a2＞c2，∴等边三角形不是“类勾股三角形”；（2）解：∵等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AC＝BC，AB＞AC，∴AC•BC+AC2＝AB2，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A的度数为45°；（3）证明：过点B作BG⊥AC，垂足为G，在GA上截取GD＝GC，连接BD，∴BG是CD的垂直平分线，∴BD＝BC＝a，∴∠C＝∠BDC，∵∠C＝2∠A，∴∠BDC＝2∠A，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠A＝∠ABD，∴DA＝BD＝a，∴CD＝AC﹣AD＝b﹣a，∴DG＝CG＝CD＝，∴AG＝AD+DG＝a+＝，在Rt△ABG中，BG2＝AB2﹣AG2＝c2﹣（）2，在Rt△BGC中，BG2＝BC2﹣CG2＝a2﹣（）2，∴c2﹣（）2＝a2﹣（）2，∴a2+ab＝c2，∴△ABC为“类勾股三角形”．12．（2023春•德州期中）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．任务：（1）“拓展思考”中，线段OB的长为 　1+　，OB'的长为 　﹣1　；点B表示的数为 　1+　，点B'表示的数为 　﹣+1　．（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择 　A　题．A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示±的点M，N；B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示2﹣的点M．【分析】（1）利用勾股定理计算出正方形的对角线长为，从而得到OB、OB′的长，然后利用数轴表示数的方法得到点B和点B′表示的数；（2）选择A题，构建直角三角形OAB，OA＝2，AB＝1，则利用勾股定理得到OB＝，然后以点O为圆心，OB的长为半径作圆交数轴于M、N，则M点表示的数为，N点表示的数为﹣；选择B题，构建直角三角形CDE，C点表示的数为2，使CD＝3，DE＝1，则利用勾股定理得到CD＝，然后以点C为圆心，CD的长为半径作圆交数轴的负半轴于M，则M点表示的数为2﹣．【解答】解：（1）∵线段OB的长为1+，OB'的长为﹣1，∴点B表示的数为1+，点B'表示的数为﹣+1；故答案为：1+，﹣1，1+，﹣+1；（2）A题：如图，M点表示的数为，N点表示的数为﹣．B题：如图，M点表示的数为2﹣．故答案为：A（或B）答案不唯一．二．勾股定理的证明（共6小题）13．（2023•杭州模拟）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　）A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．14．（2023秋•泰山区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（　　）A．49 B．25 C．12 D．10【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．【解答】解：如图，∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴直角三角形的面积是（25﹣1）÷4＝6，又∵直角三角形的面积是ab＝6，∴ab＝12．故选：C．15．（2023秋•绿园区期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据大正方形的面积为16结合a2+b2＝ab+10得出ab的值，再由小正方形的面积＝（b﹣a）2即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是16，∴a2+b2＝16，又a2+b2＝ab+10，∴ab＝6，∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣2×6＝4，即小正方形的面积是4，故选：C．16．（2023春•莒南县期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）A．420 B．440 C．430 D．410【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得△ABC、△PFB、△QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB＝AC，CQ＝AB，然后求出IP和DQ的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．17．（2022秋•长春期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）A．148 B．100 C．196 D．144【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．18．（2023秋•二道区期末）如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 　32　cm．【分析】由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，求出BC＝4cm，由勾股定理求出AC＝5cm，即可求出阴影的周长＝4（AB+AC）＝32（cm）．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．勾股定理的逆定理（共10小题）19．（2023春•禹州市期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 （a+c）（a﹣c）＝b2，则（　　）A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．∠A是锐角【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵（a+c）（a﹣c）＝b2，∴a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，∴∠A为直角，故选：A．20．（2023春•汕尾期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则∠ABC是（　　）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，从而可得∠ABC＝90°，即可解答．【解答】解：连接AC，由题意得：AB2＝12+22＝5，CB2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，故选：B．21．（2023春•东丽区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则△ABC（　　）A．不是直角三角形 B．是以a为斜边的直角三角形 C．是以b为斜边的直角三角形 D．是以c为斜边的直角三角形【分析】先根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，从而可得a＝3，b＝4，c＝5，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形，故选：D．22．（2023秋•沈河区校级期中）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）A． B．S△ABC＝4.5 C．点A到直线BC的距离为2 D．∠BAC＝90°【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：由题意得：AB2＝22+42＝20，∴AB＝2，故A不符合题意；由题意得：AC2＝22+12＝5，CB2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，故D不符合题意；∵AC＝，AB＝2，∴△ABC的面积＝AC•AB＝××2＝5，故B符合题意；设点A到直线BC的距离为h，∵△ABC的面积为5，BC＝5，∴BC•h＝5，∴h＝2，∴点A到直线BC的距离为2，故C不符合题意；故选：B．23．（2023春•蒙城县校级期中）已知a，b，c是三角形的三边长，且满足+（b﹣3）2+|c﹣4|＝0，则三角形的形状是（　　）A．等边三角形 B．钝角三角形 C．底与腰不相等的等腰三角形 D．直角三角形【分析】先根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得a﹣5＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，从而可得a＝5，b＝3，c＝4，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵+（b﹣3）2+|c﹣4|＝0，∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝5，b＝3，c＝4，∴b2+c2＝32+42＝25，a2＝52＝25，∴b2+c2＝a2，∴三角形是直角三角形，故选：D．24．（2023春•贵州期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AB的垂线，垂足为H，则IH的长为（　　）A．1 B． C．2 D．【分析】过点I作IE⊥AC，垂足为E，过点I作ID⊥BC，垂足为D，连接CI，AI，BI，先利用角平分线的性质可得IE＝IH＝ID，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用面积法进行计算，即可解答．【解答】解：过点I作IE⊥AC，垂足为E，过点I作ID⊥BC，垂足为D，连接CI，AI，BI，∵I为△ABC各内角平分线的交点，ID⊥BC，IE⊥AC，IH⊥AB，∴IE＝IH＝ID，∵AB＝5，BC＝4，AC＝3，∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵△ABC的面积＝△ACI的面积+△BCI的面积+△ABI的面积，∴AC•BC＝AC•EI+BC•DI+AB•IH，∴AC•BC＝AC•EI+BC•DI+AB•IH，∴3×4＝3IE+4DI+5IH，解得：IH＝1，故选：A．25．（2023春•鞍山期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　）A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2【分析】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝＝15（m），∵CD＝8m，AD＝17m，∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝AB•BC+AC•CD＝×9×12+×15×8＝54+60＝114（m2），∴这块菜地的面积为114m2，故选：B．26．（2023春•凤山县期末）在△ABC中，AC＝3，AB＝4，当BC＝　5或　时，△ABC是直角三角形．【分析】分两种情况：当BC是斜边时；当AB是斜边时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当BC是斜边时，则BC＝＝＝5；当AB是斜边时，则BC＝＝＝；综上所述：当BC＝5或时，△ABC是直角三角形，故答案为：5或．27．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　45　°．【分析】连接AC，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，再根据AC＝BC＝，从而可得△ABC是等腰直角三角形，即可解答．【解答】解：连接AC，由题意得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，故答案为：45．28．（2023秋•南关区校级期中）已知在△ABC中，AB＝m2+n2，BC＝2mn，AC＝m2﹣n2（m＞n＞0）．试问△ABC是直角三角形吗？若是，请说明理由．【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：∵AB2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，BC2+AC2＝（2mn）2+（m2﹣n2）2＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形．四．勾股数（共2小题）29．（2023秋•市北区期中）满足a2+b2＝c2的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（　　）A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．【分析】依据勾股数的定义进行判断．满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．【解答】解：A．7，24，25是满足a2+b2＝c2的三个正整数，故本选项符合题意；B．32，42，52是不满足a2+b2＝c2的三个正整数，故本选项不符合题意；C．1.5，2，2.5不全是正整数，故本选项不符合题意；D．，，不全是正整数，故本选项不符合题意；故选：A．30．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．【解答】解：∵当m＝3，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，∴选项A不符合题意；∵当m＝5，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，∴选项B不符合题意；∵当m＝7，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，∴选项D不符合题意；∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，∴选项C符合题意，故选：C．五．勾股定理的应用（共3小题）31．（2023春•怀柔区期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（　　）A．9海里 B．12海里 C．15海里 D．30海里【分析】根据题意可得：AO＝18海里，BO＝24海里，∠AOE＝60°，∠COB＝60°，∠EOC＝90°，从而可得∠AOC＝30°，然后利用角的和差关系可得∠AOB＝90°，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AO＝2×9＝18（海里），BO＝2×12＝24（海里），∠AOE＝60°，∠COB＝60°，∠EOC＝90°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠EOA＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，在Rt△AOB中，AB＝＝＝30（海里），∴此时两舰的距离是30海里，故选：D．32．（2023秋•杏花岭区校级月考）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（　　）A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时【分析】设最短用时t小时，分别将BC和CD用含t的代数式表示出来，在Rt△BCD中运用勾股定理列方程并求解即可．【解答】解：设最短用时t小时，甲、乙两人相距6千米．根据题意，得BC＝（10﹣16t）km，CD＝12t km，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2+CD2＝BD2，即（10﹣16t）2+（12t）2＝62，整理得（5t﹣2）2＝0，解得t＝，即t＝0.4．故选：A．33．（2023秋•沈阳月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12n mile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16n mile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　40　n mile．【分析】根据题意可得：MP＝24海里，NP＝32海里，∠APM＝60°，∠APN＝30°，从而可得∠NPM＝90°，然后在Rt△NPM中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：MP＝12×2＝24（海里），NP＝16×2＝32（海里），∠APM＝60°，∠APN＝30°，∴∠NPM＝∠APN+∠APM＝90°，在Rt△NPM中，MN＝＝＝40（海里），∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile，故答案为：40．2023年3月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段OA＝OA′＝．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A'，则点A对应的数为，点A′对应的数为﹣．类似地，我们可以在数轴上找到表示±，±，…的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB'，其中O仍在原点，点B，B'分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与OB′的长得到点B，B′所表示的无理数!按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点!