辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 已知，则（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】由得，所以.
故选：B
2. 已知五个数成等差数列，则（ ）
A. 15B. 20C. 30D. 35
【答案】C
【解析】设数列的公差为，依题意，，则，
故.
故选：C.
3. 已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有，
即，化简得，
所以对于任意的都成立，因为，所以.
故选：A
4. 已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，
故.
故选：D.
5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，在上恒成立，即在上恒成立，
不妨设，，
因在上恒成立，
故在上单调递减，则，故.
故选：D.
6. 已知数列满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 ① 知，
当时，；
当时， ②，
由①② ：，即得，
当时，符合题意，故
故选：A.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，
当时，，所以恒为正，排除选项C，
即只有选项B符合要求.
故选：B．
8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在定义域上为增函数，因为，
则，即，其中，
所以，
令，则，所以在上递增，
所以，
即，
又，所以，，，.
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】依题，，解得故A错误，B正确；
则，，故C错误，D正确.
故选：BD.
10. 下列不等式正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对选项A，设，，，
当时，，减函数，
当时，，为增函数，
所以，即，故A正确.
对选项B，当时，，不满足，故B错误.
对选项C，设，，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，故C正确.
对选项D，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时求得最小值，即，故D正确.故选：ACD
11. 已知数列满足为数列的前项和，则（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意，，，则，，故A正确；
由题意，所以，
不是常数，故数列不是等比数列，故选项B错误；
因为，即，
首项，故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故C正确；
因为，
即，首项，
故是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，
所以
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】由得，，所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：
13. 数列的通项公式为是其前项和，则__________.
【答案】
【解析】由
则.
故答案为：
14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据有三个不同的零点，
则具有三个不同的解，
可得与的共有三个解，
构造函数，则，故，则，
当，，当，，
所以，当时，，当时，，
所以或，解得或，
故的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 己知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1），有，
当时，
有，
两式相减得，
当时，由，得，
检验：当时也满足，
所以
（2）由（1）知，，
所以
，
所以.
16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴.
（1）求的值；
（2）求函数的单调减区间和极值.
解：（1）函数的定义域为，
在点处的切线平行于轴，，
.
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求取值范围.
解：（1）函数的定义域是，
因，
①若，则在上单调递增；
②若，则当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）法（一）： 恒成立，即对（*）
①若 则，由（1）知，在上单调递增，
而，故（*）式不成立；
②若由（1）知，在上单调递减，上单调递增，
则由，可得
设，因在上恒成立，
则在为增函数，又，故需使，
即的取值范围是.
法（二）：因为函数的定义域是
即为，可化为.
设，
依题意需使.
因，令，
因在上恒成立，则在上是减函数，
又因为，所以当时，，则在上是增函数；
当时，，，则在上是减函数.
所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以.
故的取值范围是.
18. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列.
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）设的前项和为；
①求；
②对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，
所以，
所以，
所以，
当时，也符合上式，故.
（2）①因为，则，
，
，
两式相减得，
，
所以，
；
②对任意的恒成立，，
则对任意的恒成立，
令，，
为递减数列，
则当时，，.
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若，且，求证：.
解：（1）由且定义域为，得，
令且定义域为，则，
所以在单调递增，又，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以函数在时，有最小值，；
（2）因为，
即，
所以，
因为，
设，则由得，，且.
不妨设，要证，即证，即证，
由及的单调性知，.
令，则，
因为，所以，
所以在为减函数所以，
所以，取，则，
又，则，
又，且在单调递增，
所以.
所以原命题得证.
2
+
0
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0
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极大值
极小值