江苏省南通市2024年中考模拟适应性模拟数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南通市2024年中考模拟适应性模拟数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列选项中，比-2℃低的温度是( )
A. -3℃B. -1℃C. 0℃D. 1℃
【答案】A
【解析】A、∵|-3|=3，|-2|=2，∴-3-2，故B选项不符合题意；
C、-2-2，故D选项不符合题意，
故选A.
2. 2023年5月21日，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元，将41800000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：．
3. 已知=3，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
则原式.
故选：D.
4. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A. （x+4）2＝﹣7B. （x+4）2＝9
C. （x+4）2＝23D. （x+4）2＝﹣9
【答案】B
【解析】x2+8x+7＝0，
x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
（x+4）2＝9，
故选：B．
5. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A. 1B. C. ﹣1D. ＋1
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴，
∴，故选：B．
6. 如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或，即不等式的解集为或，
故选：C．
7. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，不符合；
当时，是关于的一元二次方程的两根，
，，
，；
故选A．
8. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点C作CM⊥AB于M，
由题意得，
，
，
即，
解得，
．
故选：C．
9. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BCA＝∠ECA，AE＝AB＝CD，EC＝BC＝AD，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠ECA＝∠DAC，
设AD与CE相交于F，则AF＝CF，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠DFE，
∴△ACF∽△DEF，
∴=，
设DF＝x，则AF＝FC＝3x，
在Rt△CDF中，CD＝＝2x＝AB，
又∵BC＝AD＝AF+DF＝4x，
∴，
故选D．
10. 的最小值是（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
，
，
的最小值是2．
故选：．
二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】x-1
【解析】根据分式有意义的条件可知，
x+10，解得x-1，
故答案为：x-1．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】．
故答案为：
13. 知点在x轴上，则点P的坐标是___________．
【答案】(4，0)．
【解析】∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m-4=0，解得：m=2，所以m+2=4，
所以点P的坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
14. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______．
【答案】
【解析】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：，
故答案为：；
15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】关于x的一元二次方程有实数根，
且，
且；
故答案为：且．
16. 《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步．
【答案】1255
【解析】根据题意得步，步，步，步，
，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，
即，
，
，
，
，
（步），
即山峰的高度为1255步．
故答案为：1255．
17. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为______．
【答案】
【解析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图像在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____．
【答案】
【解析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，（勾股定理）
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴ ,即解得，FM＝，
由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，
∴PM＝，故答案为．
三、解答题（本大题共有8小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）化简：；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
20. 如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段的中点，连接．若．求k的值．
解：设A点坐标为，C点坐标为，
B恰为线段的中点，
点坐标为，
B在反比例函数图象上，，
，
，
，
，
；
21. 为了落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．
（1）从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于_______；
（2）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
解：（1）∵一共有四门课程，每一门课程被选择的概率相同，
∴从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于，
故答案为：；
（2）列表如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中2种符合题意，
∴他俩第二次同时选课程A或B的概率是．
22. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知，当，y的取值范围是，求a，m的值．
解：（1）把代入中得：，
∴，
∴抛物线对称轴为直线；
（2）∵，
∴，
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵当，y的取值范围是，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴，
解得或（舍去）．
23. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）若AB＝10，BC＝12，求△DFC的面积；
（2）若tan∠C＝2，AE＝6，求BG的长．
解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝10，
∴DF⊥AC，
∵BD＝CD＝6，
∵DF⊥AC，
∴由射影定理得，CD2＝CF•AC，
∴62＝10•CF，
∴CF＝3.6，
∴DF＝＝4.8，
∴△DFC的面积＝CF•DF＝3.6×4.8＝8.64；
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，tan∠C＝2，
∴BE∥DF，DF＝2CF，
∵BD＝CD，
∴CF＝EF，
∴BE＝2DF，
设CF＝EF＝x，则DF＝2x，
∴BE＝4x，AB＝AC＝6+2x，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴（6+2x）2＝62+（4x）2，
∴x＝2，x＝0（舍去），
∴AB＝10，BE＝8，
∵BE∥FG，
∴△ABE∽△AGF，
∴，
∴，
∴BG＝．
24. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
解：（1）根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，
，即，
由得或，
，，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是．
25. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小；
（2）过点C作，垂足为G，连接．
①求证：；
②连接，若，求的值．
解：（1）如图1，连接，
∵点A关于直线的对称点为点F，
∴，，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，∴，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴，
由（1）知，∴，
∴；
②如图3，连接，，
∵四边形是正方形，∴，，
由①知：，
∵，，∴，
∴和均为等腰直角三角形，∴，，
∵，
∴，
∵，∴，∴，
∵点A关于直线的对称点为点F，∴，
∴，∴，，
∴，，
在中，，
∵，∴，
∴，
；
26. 如图1，抛物线：（）与x轴交于A、B两点（在的左侧），与y轴交于点．
（1）求、、三点的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着x轴向右平移m（）个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点（在的左侧），且，求m的值．
解：（1）把代入y=ax2+10ax+16a得：y=16a，
∴点C的坐标为（0，16a），
把代入y=ax2+10ax+16a得：ax2+10ax+16a=0，
∵a≠0，
∴x2+10x+16=0，
解得：，，
∴点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（-2，0）．
（2），
∴OC=，
∴点坐标为（0，-4），
，解得：，
∴函数关系式为：；
当点P在AC下方时，如图所示：
，∴轴，
点P的纵坐标与C点的纵坐标相同，
把代入得：，
解得：，，
∴此时点P的坐标为：（-10，-4）；
当点P在AC上方时，PC与x轴交于点D，如图所示：
，，
设点D的坐标为（），
，，，
解得：，，
设的关系式为，把代入得：，
∴的关系式为，
联立，解得：，，
∴此时点P的坐标为：；综上，点P的坐标为：（-10，-4）或．
（3）过点M作ME⊥x轴于点E，NF⊥y轴于点F，如图所示：
设BC的关系式为，把代入得：，解得：，
的关系式为，
设点N的坐标为：（n＞0），则，
∵轴，
，
，
，
，
，，
点的坐标为，
抛物线关系式为：
向右平移m个单位后，关系式为：
联立得：，
整理得：，
、N两点的横坐标为方程的两个解，
由①得：，
把代入②得：，
解得：，（舍去），
∴．