北京市景山学校远洋分校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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班级______________ 姓名_______________ 准考证号________________
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知命题，，则是
（A）， （B），
（C）， （D），
【答案】B
（2）设，，且，则
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
（3）方程组的解集是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】A
（4）已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
（5）下列函数中，在定义域内单调递增的是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
（6）已知函数，则“”是“是偶函数”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
（7）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
（8）若函数存在最大值，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
（9）奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
（10）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益. 每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况. 假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①； ②； ③； ④.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是
（A）②④（B）①④（C）②③（D）③④
【答案】A
第 = 2 \* ROMAN II卷 非选择题（共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）函数的定义域为__________.
【答案】
（12）函数 的单调递减区间是________．
【答案】 和
（13）函数的零点个数为_______________.
【答案】
（14）能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是__________________．
【答案】，
（15）设，函数 的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.给出下列四个结论：
= 1 \* GB3 ① “囧函数”在区间上单调递增；
= 2 \* GB3 ② “囧函数”的图象关于轴对称；
③ “囧函数”有两个零点；
④ “囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】②④
三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题10分）
已知函数．
（Ⅰ）证明：为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：是上的减函数；
（Ⅲ）当时，直接写出的值域．（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）因为，
所以的定义域为，且．
对于任意，因为，
所以为偶函数．
（Ⅱ）当时，．
任取，且，那么

．
因为 ， 所以 ，，
从而，即．
所以是上的减函数．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，在上单调递增．
因为，
所以，
所以当时，的值域是．
（17）（本小题10分）
已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知函数有两个不同的正数零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：，.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
解：选择条件①②：
（Ⅰ）由①得，
由②得的对称轴为，
所以，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以.
（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，
所以
即
解得，
所以的取值范围是.
（ⅱ）因为，
所以，
又因为，所以.
选择条件①③：
（Ⅰ）由①得，
由③得的对称轴为，
所以，.
（Ⅱ）同选择条件①②.
（18）（本小题10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围．
（Ⅰ）当时，，所以，即
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）解法1：．
所以当，在单调递减，所以，，
所以；
当，在单调递增，在单调递减，故此，解集为空集，
综上所述：的取值范围是．
解法2：，所以，设可证在单调递增，故此，的取值范围是．

（19）（本小题10分）
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
解：（Ⅰ）设商品的利润为（万元），
依题意得
（Ⅱ）当时， ．
所以


当且仅当，即时取等号，
所以，当时，有最大值（万元）．
当时，．
综上，当时，取得最大值（万元）．
因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元．
（20）（本小题10分）
设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记
．
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，若，，，求；
（Ⅲ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值．
【解析】（Ⅰ）因为，，所以，．
（Ⅱ），，
或
（Ⅲ）设，则．由题意知，且为奇数，所以中的个数为或．所以．将上述集合中的元素分成如下四组：；；；．经验证，对于每组中两个元素，均有．所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．所以集合中元素的个数不超过．又集合满足条件，所以集合中元素个数的最大值为．
考生须知
1．本试卷共6页，共20道题，满分100分。考试时间120分钟。
2．在答题卡上准确填写班级、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。