湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了已知，若集合，则“”是“”的，已知，且，函数与的图象可能是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

命题人：陈家烦､谭泽阳 审题人：毛水 审核人：陈家烦
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.已知，若集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. B.菱形的两条对角线相等
C. D.一次函数的图象是直线
3.设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
4.若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.或
C. D.
6.已知关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
7.17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知函数是上的奇函数，且当时，，函数若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知，且，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.的定义域为
B.在定义域内单调递减
C.的最大值为
D.的图象关于直线对称
11.已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若幂函数满足，则的值为__________.
13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的.已知在过滤过程中废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（均为正常数）.如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是__________小时.
14.已知函数的定义域为为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示）
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
（1）计算；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）
已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并加以证明；
（3）解不等式.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，求证：，并求的值；
（3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.
已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作.
（1）设数列，请写出的所有可能的结果；
（2）求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次；
（3）设数列，求的可能结果，并说明理由.
长郡中学2024年下学期高一期中考试
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
7.D 【解析】设，因为，所以0.98369.由表格可知，，所以的最高位的数值为9.故选D.
8.A 【解析】函数是上的奇函数，且当时，，
当时，则，
又，即
又
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，
的图象如图所示，
函数在区间上单调递增，
，
即，
.
故选A.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
10.AD 【解析】，定义域为.令，
则.因为二次函数的图象的对称轴为直线，又的定义域为，
所以的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减.
当时，有最大值，所以.故选AD.
11.ACD 【解析】根据题意，，则，
两式相加可得，
又因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，
若对于任意，都有，则变形可得，
即，
令，则在区间上单调递增，
若，则在上单调递减，不满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在区间上单调递增，则只需解得，
所以的取值范围为，则可以取.故选ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.16
13.5 【解析】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得，
排放污染物时，，即，解得，
所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.故答案为5.
14. 【解析】为偶函数，其图象关于轴对称，关于对称，
又当时，在上为增函数，
故不等式可等价为，即，
当时，不等式为，即，无解，
当时，不等式为，即，
即，解得.故答案为.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.【解析】（1）原式
.
（2）由题意得，得，
同理，故.
16.【解析】（1）或，当时，或，.
（2）当时，满足条件，
此时有，无解，故；
由得解得.
所以的取值范围是.
17.【解析】（1）由题意可知.得，经检验成立.
（2）由（1）可知，设，
则，
，
，即，
在上单调递减.
（3）由题易知，又，
由（2）可知在上单调递减，
解得，
不等式的解集为.
18.【解析】（1），
易知当时，函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为函数的值域为.
（2）若，则，
，
设，
则，
两式相加得，即，则，
故.
（3），设，当时，，
则函数等价于，
若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点，
即在区间上有解，
在区间上有解，1
，
设，则，
又在区间上单调递增，
当时，，当时，，
，即.
实数的取值范围是.
19.【解析】（1）有如下的三种可能结果：.
（2）因为，有且，所以，即每次操作后新数列仍是数列.
又因为每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列总共可进行次操作（最后只剩下一项）.
（3）由（2）可知中仅有一项.
对于满足的实数定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为，且，所以，即该运算满足交换律；
又因为，
且，
所以，即该运算满足结合律.
所以中的项与实施的具体操作过程无关.
选择如下操作过程求：
由（1）可知；
易知
所以的其中一种结果为；
易知经过4次操作后剩下一项为.
综上可知：.真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.30103
0.47712
0.60206
0.69897
0.77815
0.84510
0.90309
0.95424
1.000
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
C
B
D
A
题号
9
10
11
答案
BC
AD
ACD