初中北师大版（2024）2 30°、45°、60°角的三角函数值课时练习

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倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
题型5.特殊三角函数值的应用
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
知道30°45°60°角的三角函数值
熟记特殊角的三角函数值，并会进行相关的计算。
重点：30°45°60°角的三角函数值
难点：利用特殊角的三角函数值进行相关的计算。
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【例】．（2023秋•张店区期中）计算：
（1）2sin30°﹣sin45°•cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查锐角三角函数，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
【变式】．（2023秋•任城区期中）计算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算，得到答案．
【解答】解：2sin30°﹣cs245°+cs60°
＝2×﹣（）2+
＝1﹣+
＝1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【方法二】实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
1．（2023秋•沙河口区期中）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵，且∠A是锐角，
∴∠A＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．（2023秋•广饶县期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．75°C．105°D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，＝csB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2023秋•乐亭县期中）在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性分别求出∠A、∠B，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵|csA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．（2023春•拱墅区校级期中）若csA＝，则锐角∠A＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵csA＝，
∴锐角∠A＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
5．（2023秋•槐荫区期中）2cs45°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】把cs45°＝代入原式，即可计算．
【解答】解：2cs45°＝2×＝．
故选：A．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是掌握特殊角的三角函数值．
6．（2023秋•苏州期中）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：cs60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．（2023秋•昌黎县期中）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cs30°＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×
＝﹣+1﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
8．（2023秋•槐荫区期中）计算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°
＝2×﹣+×
＝﹣+
＝．
【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
9.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】根据非负数的性质得到sinA＝，csB＝，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A＝60°，锐角B＝60°，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：根据题意得sinA﹣＝0，csB﹣＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴锐角A＝60°，锐角B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
10．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
【答案】D
【分析】．
【详解】解：∵在中，都是锐角，，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类，熟知等特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．（2023秋•惠山区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A＝60°，∴tanA＝．
把x＝代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2（）2﹣3m+3＝0，解得m＝．
把m＝代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2x2﹣3x+3＝0，解得x1＝，x2＝．
∴csB＝，即∠B＝30度．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．
【点评】本题较复杂，涉及到一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及等边三角形的性质需同学们熟练掌握．
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
12．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由得到，所以，即两角互余，即可得到
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了两角互余时角的三角函数关系及相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数关系是解题的关键
13．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．
根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；
(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；
(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）
【答案】(1)，见解析
(2)当时，y随x的增大而增大
(3)或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算，根据面积公式，分类计算即可．
（2）根据图像的性质描述即可．
（3）分类计算即可．
【详解】（1）∵，，点D为中点，
∴，
∴，
当时，；
当时，

过点P作于点E，
则，
∴，
故，
画图像如下：
．
（2）根据图像，可得当时，y随x的增大而增大．
（3）∵，
∴或，
∵保留1位小数，误差不超过，
∴或，
故或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三线合一性质，勾股定理，三角函数，函数的图像，误差，熟练掌握三线合一性质，勾股定理，三角函数是解题的关键．
14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．
(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．
(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．
(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．
【答案】(1)；
(2)补全图见解析，这个函数关于直线对称；这个函数的最大值为6；
(3)当或时，x有且仅有两个不同的值．
【分析】（1）根据菱形的性质求得，在中，利用正弦函数即可求解；
（2）根据，知点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，据此可补全图象，根据图象可写出其性质；
（3）观察图象知当或y取最小值时，x有且仅有两个不同的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形菱形，
∴，
∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，
在同一坐标系中补全图象如图，
这个函数的两条性质：
①这个函数关于直线对称；
②这个函数的最大值为6；
（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；
当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，
在中，，，
∴，
∴；
综上，当或时，x有且仅有两个不同的值
【点睛】此题考查了菱形的性质、三角函数、动点函数的图象，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
题型5.特殊三角函数值的应用
15．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于
点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.
⑴ ∠BAE＝ °；
⑵ DF平分AE吗？证明你的结论.

【答案】⑴ 30°⑵ DF平分AE，证明见解析
【分析】（1）可先证，利用中点的性质易得∠BAE的正弦值，可知其度数；
（2）连接DE，结合（1）中结论，可证是等边三角形，根据“三线合一”的性质可得结论.
【详解】解：（1）是以点A为圆心、AD为半径画弧得到的
四边形ABCD是矩形

点E恰好为BC的中点


（2）DF平分AE.
如图，连接DE

由（1）知，，
是等边三角形


所以DF平分AE.
【点睛】本题主要考查了矩形与三角形的综合，还涉及了解直角三角形，灵活的利用矩形与等边三角形的性质是解题的关键.
16．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）2
【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，，可得BE=DG，FC=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四边形EFGH为平行四边形．
（2）设AE为x，由，可求得BF=DH=x+1，AH=x+2，由可求得AH=2x，则x=2，即AE=2.
【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AB=CD，∠HAB=∠EBC=∠FCD=∠ADG=90°，
又∵，
∴BE=DG，FC=AH
∴，，，
∴EH=FG，EF=GH
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）设AE=x则BE=DG=x+1
在中，
∴
∵BF=DH=x+1
∴AH=x+1+1=x+2
又∵
∴
∴AH=2AE=2x
∴2x=x+2
解得x=2，
∴AE=2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH=FG，EF=GH是解题关键．
17．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．

(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)设，和的面积分别为，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）利用矩形的性质证得，，即可证明；
（2）利用勾股定理求得，，利用余弦函数的定义即可求解；
（3）求得，推出和的相似比为，得到，由，据此即可证明结论．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴和的相似比为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义，解第3小题的关键是得到和的相似比为．
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
1.求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°•tan60°；
(3) +ct30°﹣．
【答案与解析】
解：（1）原式=
=﹣．
(2) 原式=×﹣4×（）2+×
=﹣3+
=；
(3) 原式=+﹣
=2+﹣
=3﹣2+2
=+2．
【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再
进行化简．
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
1．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
3．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．
4．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cs30°．
【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x﹣1，
∵x＝cs30°＝，
∴原式＝﹣1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24九年级上·河北邢台·阶段练习）下列三角函数的值是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：，，， ，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2023·北京海淀·模拟预测）在锐角中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴在锐角中，，
故选： A；
【点睛】本题考查了平方及绝对值的非负性，锐角三角函数，三角形内角和定理；掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
3．（22·23九年级上·黑龙江大庆·开学考试）设，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的取值范围选择特殊值，然后求出正弦、余弦、正切的值，进行比较即可得到答案．
【详解】解：，
取，
，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
4．（2022·广东深圳·模拟预测）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值，再进行加减即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数、零指数幂以及绝对值，属于基础题，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
5．（22·23九年级上·安徽滁州·阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为( )

A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接，，设正方形的网格边长是，则根据勾股定理可以得到：

，，
在中，由等腰三角形三线合一得：，
则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
6．（22·23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵，则，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．（22·23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（ ）

A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可．
【详解】解：如图：

，
，
，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值．
8．（23·24九年级上·山东济南·期中）的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（ ）

A．1B．3C．D．
【答案】C
【分析】设点A的坐标为，过A点作轴，利用锐角三角函数和即可求出m，根据，设，根据点D经过反比例函数，即可求出n，进而求出答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
过A点作轴，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
或（舍），
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
设，
则，
∴，
∵点D经过反比例函数，
，
或（舍），
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，巧设未知数利用已知解析式是本题的突破口．
10．（22·23九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ）

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确．
【详解】解：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
又，
，
故①正确；
，，
，
，
故②正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，，
，
，
故③正确；
，，
，
，
，
又，，
，
故④正确，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
11．（22·23九年级下·山东临沂·期末）在中，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用特殊角的三角函数值得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
则
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．（22·23九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）锐角满足，则 度．
【答案】
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
13．（23·24九年级上·重庆·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】代入特殊角的三角函数值，化简负整数指数幂，然后再计算．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
14．（2022·湖北宜昌·模拟预测） ．
【答案】3
【分析】利用特殊角的三角函数值、二次根式的加法运算法则即可求解．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及二次根式的运算法则是解题的关键．
15．（23·24九年级上·山东淄博·阶段练习）若的余角是，则的值是 ．
【答案】/0.5
【分析】先求出的余角，由即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了互余的定义，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．（2023·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．

【答案】
【分析】连接，如图所示，由菱形性质及三角形中位线的判定与性质证得，，在中，．
【详解】解：连接，如图所示：

在菱形中，，点分别为的中点，
，
，
，
在菱形中，，点分别为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，点分别为菱形的中点，
，
，
，
在中，点分别为菱形的中点，
，
，
在菱形中，，则，
在中，，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用菱形性质求特殊角的三角形函数值，根据菱形性质、三角形中位线的判定与性质求出及是解决问题的关键．
17．（22·23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．

【答案】
【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设点的坐标为，则，
∴，，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键．
18．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】过点E作于点G，过点D作于点H，利用勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，三角形全等计算即可．
【详解】∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点E作于点G，
则，
设
则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
过点D作于点H，
则，

设
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，正切函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
19．（23·24九年级上·福建泉州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，用到了二次根式的化简、绝对值化简、特殊角三角函数值等知识，先依次对二次根式、绝对值、特殊角三角函数值进行运算，再根据实数的运算法则进行运算即可．
【详解】解：
．
20．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
【答案】．
【分析】利用二次根式的加减，零指数次幂，二次根式的性质，特殊角三角函数和绝对值化简进行计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式的加减，零指数次幂，二次根式的性质，特殊角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握二次运算及熟记特殊角的三角函数值．
21．（2022·广东广州·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式、三角函数化简4考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则、算术平方根的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
22．（21·22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入得出的值，继而代入计算即可．
【详解】原式
，
∵
，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
24．（23·24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知，．

(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据的正切值得，即可证明相似．
（2）先证明，进而求出，再根据得出，即可求出．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴，
∴
∴
（2）∵由（1），
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定、特殊角三角函数值及勾股定理，根据特殊角得出对应线段成比例是解题关键．
25．（23·24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【问题探究】
如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．

①证明：：
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系为______．
（2）【迁移探究】
如图2，将正方形换成菱形，且，点位于中点，其他条件不变．探究与的数量关系为______．
【答案】（1）①见详解②的大小不发生变化，理由见详解③（2）
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明，得出，进而可得结论；
③作交于点E，作于点F，如图，证明，，即可得出结论；
（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
②解：的大小不发生变化，；
理由：作，，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴．
.∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，即；
③解：
理由：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：四边形是菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，

则四边形是平行四边形，，，
∴，，都是等边三角形，
∴，
作于点M，
则，，
∴，
∴．
∵点位于中点，
∴
∴，
即
所以
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
26．（23·24九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A逆时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，连接，求的长度；
(2)如图2，若，求的坐标并直接写出的坐标；
(3)在（2）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点P的坐标．
【答案】(1)5
(2)点；
(3)，
【分析】（1）利用勾股定理，等边三角形的判定和性质，计算即可．
（2）过点作轴于点D，过点作轴于点E，根据旋转的性质，利用特殊角的三角函数计算即可．
（3）根据旋转的性质，得到继而得到，作点A关于x轴的对称点N，连接交于点M，此时，有最小值，故点P与点M重合时，取得最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，计算即可．
【详解】（1）∵ 点，点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）过点作轴于点D，过点作轴于点C，过点作轴于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵ 点，点，
∴，
∵ ，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故点；．
（3）如图，根据旋转的性质，得到，
∴，
作点A关于x轴的对称点N，
连接交于点M，此时，有最小值，
∴点P与点M重合时，取得最小值，
∵ 点，
∴点，
设直线的解析式为，
∵点，点，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
令，
得，
解得，
故点，
，
故的最小值为，此时点．
【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数值应用，勾股定理，将军饮马河原理，熟练掌握特殊角的三角函数值应用，勾股定理，将军饮马河原理是解题的关键．
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4．82
4．84
5．06
5．46
6