河南省许平汝名校2024-2025学年高三上学期10月期中数学试卷（Word版附解析）

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1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则的真子集个数为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知，，向量，满足，则“，不共线”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若曲线与轴，直线的交点分别为为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
8. 在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 的最小正周期为
C. 区间上单调递减D. 在上有4个零点
10. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 为奇函数
C. 是的极小值点
D. 在上有极值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则曲线在点处的切线方程为__________.
13. 若定义在上的函数满足：，且，则______.
14. 如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16. 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.
17. 在中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.
18. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.
19. 已知函数.
（1）证明：当时，只有1个零点；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若，设，证明：.