江苏省徐州市睢宁县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省徐州市睢宁县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
（满分：140分，时间：90分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。四个选项中只有一个正确选项）
1．已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）
A．5B．4C．3D．2
2．用配方法解方程x2-2x-1=0，下列配方正确的是（）
A．（x-1）2=0 B．（x-1）2=1 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
3．给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（）
A．①③④B．②C．②④D．①④
4．函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）
A．B．C．D．
5．有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）
A．12步B．24步．C．36步D．48步
6．如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（）
A．B．C．D．
7．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．已知关于的方程的一个根是，则_______．
10．请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根．
11．方程的两根为、，则_______．
12．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．
13．某学习机的售价为2000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为1280元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为________．
14．已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）．
15．已知二次函数图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是__．
16．如图是二次函数的图像，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________（填序号）
17．如图，在中，，，则能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径是_______．
18．如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值_______．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．要求写出解答或计算过程）
19．解方程：
（1）；（2）．
20．下表是二次函数的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是_______；
（2）求的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出时的取值范围：_______．
21．如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由．
22．某商店经销一种手提包，已知这种手提包的成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元．
（1）当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
23．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
24．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，求值．
25．据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．
（1）观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
（2）联想：
如图2，在中，，，平分交于点，则_______；
（3）迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）
26．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项）
1．D
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O内，∴OP＜3，即OP的长可能是2．故选：D．
2．D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及配方法，先移项，再系数化1，然后配成完全平方式，据此作答即可．
【详解】解：因为
所以
则
即
故选：D
3．B
【解析】
【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；
②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，
∴其中正确的是②．
故选：B．
4．C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，先根据每个选项图象分别得出值，再进行比较，即可作答．
【详解】解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；
B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；
D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
故选：C
5．A
【解析】
【分析】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60-x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x-（60-x）中，即可求出结论．
【详解】设矩形田地的长为步，则宽为步，
根据题意得，，
整理得，，
解得或(舍去)，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余可得答案．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质应用，熟练掌握多边形内角和及外角和的计算方法是解题的关键，连接，根据正六边形的外角为，可得，，再根据，可得，进而得到正六边形至少旋转的度数．
【详解】解：连接，
∵正六边形的每个外角，
∴正六边形的每个内角，
∴，，
∵
∴
∴
∴正六边形至少旋转的度数为
故选：B．
8．C
【解析】
【分析】本题考查抛物线与直线的交点，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，一元二次方程（为实数）在的范围内有实数解相当于函数与直线在的范围内有交点．据此进行解答即可．
【详解】解：方程的解相当于与直线的交点的横坐标，
∵方程（为实数）的解满足，
∴当时，，
当时，，
又∵，
∴抛物线的对称轴为，最小值为，
∴当时，则，
∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点，
即当时，方程在的范围内有实数解，
∴的取值范围是．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．6
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解，解题的关键是根据方程解的定义将代入方程得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵关于的方程的一个根是，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．9
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：，
故答案为：9．
11．3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：移项得：，
，
故答案为：3．
12．15
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．
故答案为15π．
13．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，抛物线的对称轴为：，则关于对称点的坐标为：，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
抛物线的对称轴为：，
关于对称点的坐标为：，
，且抛物线开口向下，
，
故答案为：．
15．且
【解析】
【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算．
【详解】解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
16．①②④
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键：根据抛物线与轴的交点个数可判断结论①；根据对称轴的位置可判断结论②；根据抛物线过“特殊点”与系数的关系可判断结论③；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及图像与轴交点的位置可判断结论④．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故结论②正确；
由图像知，当时，，
∴，故结论③不正确；
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
17．4
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、解直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理及垂径定理得，，进而可得，在中解直角三角形即可求解，理解要使能够将完全覆盖的最小圆形纸片，则这个小圆形纸片是的外接圆是解题的关键．
【详解】解：要使能够将完全覆盖的最小圆形纸片，则这个小圆形纸片是的外接圆，
作的外接圆，连接，，作交于，如图：
，，
，，
，
在中，，，
，
故答案为：4．
18．
【解析】
【分析】如图，作点关于直径的对称点，根据圆的对称性可知点在圆上，连接，交直径于点，此时的最小值是的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知，，根据对称的性质可得，，由垂径定理及推论可知，，根据角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．
【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，
∴，则的最小值是的长，
∵点是半圆的中点，的半径为，
∴等于半圆的一半，
∴，
∵点是的一个三等分点（靠近点），
∴等于的，
∴，
∵点与点关于直径的对称，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，角的直角三角形和勾股定理等知识点，掌握弧的度数和圆心角的关系，垂径定理以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．要求写出解答或计算过程）
19．（1）或
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）先移项再提公因式，得，再运用因式解法计算即可；
（2）先移项，，再运用公式法计算即可；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：
则
那么或
即或
【小问2详解】
解：
则
故
所以
即或
20．（1）
（2），作图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和在平面直角坐标系中作图．
（1）先利用抛物线的性质得到对称轴为直线，结合表中数据得到抛物线的顶点坐标；
（2）把代入中可求出的值，然后利用描点法画出二次函数的图像；
（3）先解方程确定抛物线与轴的交点坐标为，，然后写出二次函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
把代入中，
得：，
解得：，
如图，
【小问3详解】
由（2）知：二次函数的解析式为，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，，
由图可知：当时，二次函数的图象在轴的上方，即，
∴时的取值范围为．
故答案为：．
21．直线与相切，理由见解析
【解析】
【分析】连接、，由等腰三角形的性质可得，根据直角所对的圆周角是直角得，而点是的中点，则，，继而得到，即可得证．
【详解】解：直线与相切．
理由：连接、，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线，
∴直线与相切．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，垂直的定义等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（1）当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元
（2）该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）根据数量关系列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）当时，代入即可求解；
理清题意，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意得：，
整理得：，
当时，有最大值为，
答：当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元．
【小问2详解】
当时，，
解得：，，
，
，
答：该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元．
23．（1）主桥拱所在圆的半径长为5米
（2）此时水面的宽度为米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论．
【小问1详解】
∵点是的中点，，
∴经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，
设半径，
在中，，
解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
【小问2详解】
设与相交于点，连接，
∴，
∴，
在中，，
答：此时水面的宽度为米．
24．（1）③（2）或
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算，
（1）利用“自然方程”定义判断即可；
（2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可；
熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【小问1详解】
解：①，
解得：，，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②，
，
∵，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
③，
，
或，
解得：，，
∴，故此选项符合题意；
故答案为：③；
【小问2详解】
，
，
或，
解得：，，
∵方程“自然方程”，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
25．（1）（2）（3）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据等角对等边和角的直角三角形可得，，可得出答案；
（3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，根据垂径定理的推论和垂直平分线的性质可确定点为大圆的圆心，证明为等边三角形，得到，从而得到，再结合（2）的结论可得出结论．
【小问1详解】
解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：，
∴小圆与大圆的半径之比是：，
故答案：；
【小问2详解】
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；
【小问3详解】
作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，
∵垂直平分，是圆的弦，
∴线段为圆的直径，
∵垂直平分于点，
∴点为大圆的圆心，，
∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
由（2）知：，，
则小即为所作．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了利用尺规作垂直平分线、过一点作垂线、作一个角的角平分线、作一条线段等于已知线段，垂径定理的推论，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，等角对等边等知识点．解题的关键是理解题意，利用数形结合思想解决问题．
26．（1）
（2）
（3）点的坐标是或或或或或
【解析】
【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【小问1详解】
将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或(；
②当为直角顶点时，，
如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或5，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．