黑龙江省大庆外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份黑龙江省大庆外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了若，则下列式子正确的是，将点A，下列说法正确的有个，在△ABC中，等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 考试分数：120分 出题人：王茉 审题人：赵昉
一．选择题（每题3分，共30分）
1．第三十三届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面封：是2024年巴黎奥运会的项目图标，其中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．将点A（－3，－1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图，点C在直线l1上，点A、D在直线l2上，∠CAD的平分线AB交直线l1于点B，且CA＝CB．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
5．下列说法正确的有（ ）个
①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线；②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；③等腰三角形的角平分线、中线、高线相互重合；④有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；⑤到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A．1B．2C．3D．4
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解是（ ）
A．B．x≥3C．x≤3D．
7．△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
8．若x＝2是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
9．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．B．C．D．
10．在△ABC中，（），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，则AE有最小值．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明、小丽都正确B．小明错误，小丽正确C．小明正确，小丽错误D．小明、小丽都错误
二．填空题（每空3分，共30分）
11．当x______时，式子1－3x的值不是负数．
12．若点与点关于原点对称，则______．
13．如图，有一块长为12m，宽为8m的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃．如果小路的宽度为2m，那么花圃的面积为______m2．
14．如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，则AB的长为______．
15．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12：9两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为______．
16．如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，，则旋转角是______．
17．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，根据尺规作图痕迹，线段AD的长为______．
18．对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是______．
19．我校学生会计划组织初三学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生______人．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝2，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF、CF，则的最小值为______．
三．解答题（共60分）
21．（8分）解下列不等式组．
（1）（2）
22．（6分）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）直接写出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1的对称点A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．
23．（6分）如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m．
（1）鸡场的长（对着墙的边长）y（m）与宽（与墙相邻的边长）x（m）的函数关系式？
（2）养鸡场的长大于宽，求自变量的取值范围？
24．（6分）如图，将等边△DEF放在含有30°角的直角三角板ABC上（∠A＝90°，∠C＝30°），使EF落在线段AC上，DE与DF分别交边BC于点H、G，其中FG＝2．
（1）证明：GF＝FC；
（2）求CG的长．
25．（8分）每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3束康乃馨共花了130元．
（1）求每束百合和每束康乃馨的售价；
（2）某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一封半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元．
26．（6分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为x＝2，的解集为，不难发现x＝2在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围．
27．（10分）如图，△ABC中AB＝AC，△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD相交于点F，连AF并延长交BC于点G．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：G为BC的中点；
（3）已知，求∠BDC的大小（用含的式子表示）．
28．（10分）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝______，∠ABP＝______．（用含的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
参考答案：
一、选择题
二、填空题
11． 12．3 13．80 14． 15．6或8
16．40° 17． 18． 19．5 20．
三、解答题
21．（1）由得：，由得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1．
（2）解：
解不等式①得x≥1；解不等式②得x＜4，
∴不等式组的解集为：．
22．（1）解：∵A（0，3），B（3，4），C（2，2），∴A1（0，－3），B1（－3，－4），C1（－2，－2）；
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（3）解：△A1B1C1的面积为．
23．解：（1）根据题意得：鸡场的长y（m）与宽x（m）有，即；
（2）题中有，∴，∴x≥8.5，
又y＞0，∴，解得，
则自变量的取值范围为；
24．（1）证明：∵△DEF为等边三角形，∴∠DFE＝60°，
∵∠C＝30°，∴∠CGF＝60－30＝30°＝∠C，∴GF＝FC；
（2）解：过点F作FM⊥BC于M，
∵FG＝2，∠C＝30°，∴，∴，
∵GF＝FC，∴由三线合一得：．
∴．
25．解：（1）由题意，设每束百合的价格是m元，每束康乃馨的价格是n元，
根据题意得：，∴．
答：每束百合的价格是35元，每束康乃馨的价格是20元．
（2）由题意，设购进百合x束，购进花束的总费用为w元，则购进康乃馨束，
∵购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半，
∴．∴x≥30．
又购买花束的总费用，
∵15＞0，∴w随x的增大而增大．
∴当x＝30时，w取最小值，
此时．
∴购进百合30束，购康乃馨60束，购进花束的总费用最少为2250元．
26．解：（1）③；
（2）由，得，
由，得．
∵方程是不等式组的“子方程”，
∴，解得．
即k的取值范围是．
27．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，DB＝AB＝AC＝EC，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ACB，即∠CBD＝∠BCE，
在△ECB和△DBC中，
∴△ECB≌△DBC（SAS），∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）得△ECB≌△DBC，
∴∠BCD＝∠CBE，∴BF＝CF，
∵AB＝AC，∴AG是BC的垂直平分线，
∴G为BC的中点；
（3）解：由（2）可知，AG是BC的垂直平分线，
∵AB＝AC，，
∴，
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴∠ADB＝∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴，
∵DB＝AB＝AC＝EC，
∴，
∴．
28．（1），．
（2）证明：如图2中，连接BD．
∵CB＝CD，PB＝PD，∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，∴∠PBC＝∠PDC＝α，
∵∠ACB+∠ECD＝180°，2∠D+∠ECD＝180°，∴∠ACB＝2α，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝2α，∴∠ABP＝∠PBC＝α，∴PB平分∠ABC．
③或
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
B
B
D
D
D
A