山西省阳泉市部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

这是一份山西省阳泉市部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，练习时间120分钟）
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ）
A.1B.C.2D.0
3.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ）
A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的全等D.图形的相似
4.利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想B.转化思想C.整体思想D.公理化思想
5.如果，那么下列比例式正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.若等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值是（ ）
A.27B.36C.27或36D.18
7.我国古代数学《九章算术》中有一道“井深几何”的问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺等于10寸），问井深几何?”根据题意画出如图示意图，则并深为（ ）
A.56.5尺B.57.5尺尺尺
8.如图，在中，点D是上一点，且，若，，则与的面积比为（ ）
A.B.C.D.
9.对于实数a，b，定义运算“（ ）”：若，例如：.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为（ ）
A.12B.10C.9.6D.4.8
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算的结果是________.
12.如图，直线，若，，，那么的长为________.
13.某种小家电在两年内提价两次后每个的价格比两年前增加了44%，则平均每次提价的百分率为________.
14.如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.
15.如图，在中，，，，点D是边上的一点，过点D作，交于点F，作的平分线交于点E，连接.若的面积是2，则的值是________.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）解方程：
17.（本题10分）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.点A，B，C均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹.
图① 图② 图③
（1）在图①中，以点C为位似中心，将放大到原来的2倍；
（2）在图②中，在线段上作点D，使得；
（3）在图③中，作，且相似比为.
18.（本题8分）玉米俗称玉米棒子、苞米，是我国第一大粮食作物，也是全世界公认的“黄金作物”.政府鼓励农民种植玉米，一亩地每年补贴300元.经调查：我省玉米实验田平均亩产量约1300千克，市场销售价为每千克1.2元，除购买种子、播种、施肥、浇水、收割等成本费用外（随种植亩数的变化而变化），种植一亩玉米的净利润达到1360元.
（1）求种植一亩玉米的成本需要多少元；
（2）某农场现有15亩实验田，计划种植玉米和蔬菜，根据经验调查发现：按2023年种植一亩玉米的成本来计算，以后每多种植1亩，平均每亩的成本会减少20元，2024年农场计划投入3200元的成本种植玉米，问：该农场计划种植几亩玉米?
19.（本题7分）如图，在中，点D在边上，，点E在边上，.
（1）求证：.
（2）若，，求的长.
20.（本题8分）项目化学习
项目主题：测量树的高度.
分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板，确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度.
成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：根据测量数据，求出树的高度；
任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识________________________________________.（写出一个即可）
21.（本题8分）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前400-前347）发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，，若较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，即（此时线段叫做线段，的比例中项），则可得出这一比值等于，这种分割为黄金分割，这个比值为黄金比，P为线段的黄金分割点.
图1
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设是已知线段，经过点B作，且，连接，在上截取，在上截取，则C就是线段的黄金分割点.
任务：
图2
（1）求证：C是线段的黄金分割点.
（2）若，则的长为________.
22.（本题12分）综合与实践
（1）如图①，在中，，，点D在边上，点E在边上.若，求证：.
图①
（2）如图②，在矩形中，，，点E在边上，连接，过点E作，交于点F.
图②
i）若，求的长；
ii）若点F恰好与点D重合，求的长.
23.（本题12分）综合与探究
如图1，在矩形中，，，点E是对角线上任意一点，交于点G，交于点F.
（1）当点E为的中点时，________.
图1
（2）如图2，将四边形绕点B逆时针旋转，连结，.在旋转过程中，是否发生变化，若不变化，求出的值，若发生变化，请说明理由.
图2
（3）如图3，将四边形绕点B逆时针旋转，连结，.请直接写出旋转过程中的值.
图3
九年级数学答案
一、
1、C2、A3、D4、B5、C6、B7、B8、A9、D10、D
二、
11、412、13、20%14、
15、
三、
16、解：（1）
（2），，，，，.
17、（1）如图，即为所求
（2）如图，点D即为所求
（3）如图，即为所求
18、（1）设种植一亩玉米的成本需要x元，
依题意得：，
解得.
答：种植一亩玉米的成本最高需要500元.
（2）设该农场计划种植y亩玉米，则每亩的成本为
依题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）。
答：该农场计划种植10亩玉米.
19、（1）证明：∵，∴.
∵，，又，
∴，
∵，∴.
（2）∵，∴，即，解得，.
20、（1）解：如图，过点C作于点G，交于点H.
则四边形与四边形是矩形.
∴，，.
.
由题意得，
∴.
∴，
∴，
∴.
∴.
（2）答案不唯一，例：相似三角形的性质与判定
21、（1）证明：设，则，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴C是线段的黄金分割点；
（2）当时，由（1）知，，
∴.
22、（1）证明：∵，，
∴.∴.
∵，∴.∴.
∴.
（2）解：i）∵四边形是矩形，
∴.∴.
∵，∴.
∴.∴.∴.
∵，
∴，.
∴，
∴.
∴CF的长为.
ii）设，则.由①得.
∴，
∴，即.
整理，得.解得，.
∴的长为2cm或8cm.
23、（1）∵，
∴，
∵，，
∴
在中，，，
∴，
∴，故答案为：.
（2）没有变化，连接，如图：
由旋转的性质可知，，和长度不变，由（1）知，，
∴，∴；
（3）连接，如图：
在图中，，∴，由旋转的性质可知，，和长度不变，
∴，∴.测量工具
标杆，皮尺
测量方案
选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上.这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高.
测量示意图
测量数据
线段表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离.
……