2025友好学校高三上学期10月期中联考数学试题含解析

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义求解.
【详解】因为，所以，
故选:A.
2. 已知命题：，，那么命题为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定变换形式即可求解.
【详解】：，，
则：，.
故选：C
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用零点存在定理可判断出函数零点所在的区间.
【详解】易知函数在0,+∞上单调递增，
又，，，
故函数的零点所在区间为．
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
4. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A. 30B. 60C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合锐角三角函数的定义，求得，，得解．
【详解】由题意知，，，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，米，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．
故选：D．
5. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出，结合角的范围求得，即可求得答案.
【详解】由题意，
则，即，
故，即，
由于，所以，
则，即，
故，
故选：B
6. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.
【详解】由，得，
所以该曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线方程为，
即．
故选：C.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解.
【详解】由题，
又由是增函数可知，，
∴，
故选：B.
8. 函数f(x)＝ 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A. a1的一个真子集，
故选A
【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D项是冲要条件，容易疏忽而出错.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. 的最大值为
C. 若，则
D. 命题 “，”的否定是“，”
【答案】AB
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，根据对数函数的性质判断B，利用平方关系及诱导公式判断C，根据含有一个量词命题的否定判断D.
【详解】对于A：若，，满足，但是，故充分性不成立，
若，，满足，但是，故必要性不成立，
即“”是“”既不充分也不必要条件，故A正确；
对于B：由，解得，所以函数的定义域为，
又，所以当时函数取得最大值，且，故B正确；
对于C：因为，又，所以，
所以，，故C错误；
对于D：命题 “，”的否定是“，”，故D错误；
故选：AB
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与是相同的函数
B. 函数的最小值为6
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D.
【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．
由得，所以的定义域为,．
又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．
对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．
对于C,若在定义域上为奇函数，
当时，x需要满足，
则由奇函数定义域关于原点对称，可得，
此时，，为奇函数，
所以满足题意；
若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意，
所以，故C错误，
对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，
故选：AD．
11. 已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 图象C关于中心对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到
【答案】CD
【解析】
【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.
【详解】.
A：函数的最大值为，因此本选项不正确；
B：因为，所以图象C不关于中心对称，因此本选项不正确；
C：当时，，所以函数在区间内是增函数，因此本选项正确；
D：函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本选项正确，
故选：CD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 设，则函数的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最小值是最小值为.
故答案为：.
13. 已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以，
因为不等式的解集为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 关于函数，有如下命题：
（1）是图象的一条对称轴；
（2）是图象的一个对称中心；
（3）将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象．
其中真命题的序号为______________．
【答案】(2)(3)
【解析】
【分析】将函数的解析式化为，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题．
【详解】由题意得，
对于（1），当时，，所以不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确．
对于（2），时，，所以是图象的一个对称中心，所以（2）正确．
对于（3），将的图象向左平移后所得图象对应的解析式为
，为奇函数，所以（3）正确．
综上可得（2）（3）为真命题．
故答案为（2）（3）．
【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为的形式后，将作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题．
四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出和,再取交集，即可．
（2）因为且恒成立，所以，解出即可．
【详解】解：（1）若，则，所以或x>2，又因为，所以 ．
（2）由（1）得，，又因为，所以 ，解得．
【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．
16. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.
（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.
【小问1详解】
由题意得，，
所以，又，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，
即；
小问2详解】
由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以f′x在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，f′x>0；时，f′x