四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期中适应性考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分．
1. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.
【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，
所以在基底下的坐标为.
故选：A
2. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案．
【详解】由题意得，故倾斜角为.故选B.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3. 某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.
【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为，高三（2）班抽取的人数为，
设高三（1）班（6人）答对题目数依次为，高三（2）班（4人）答对题目数依次为，
由题意可得：，
可得，
则这10人答对题目的平均数，
这10人答对题目的方差.
故选：D.
4. 如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将该几何体补成一个直四棱柱，连接，则（或其补角）是异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形.
连接，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
设1，则，
所以.
故选：D.
5. 如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长.
【详解】由二面角的平面角的定义知,,
由,,得,,,
,
所以,即．
故选：A．
6. 在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ）

A. 对任意的，存在点，使得
B. 当且仅当时，存在点，使得
C. 当且仅当时，存在点，使得
D. 当且仅当时，存在点，使得
【答案】C
【解析】
【分析】若存在点，使得，则必有，且由题设条件易得平面,得到,再通过△∽△即可求得的范围.
【详解】连接，在四棱柱中，因平面，
所以平面，则,又由底面是正方形，得，
所以平面，得.
若存在点，使得，则平面,得,
则△∽△，得，即，所以

故选：C.
7. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由定义得出两平面的法向量，利用数量积公式求出法向量的夹角余弦，利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案
【详解】由题意，因为平面的方程是，所以法向量
由平面的方程是，所以法向量，
所以，
所以，
故选：A.
8. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以即得,
所以,
因为，都是正实数，所以.
当且仅当时，取最小值25.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与的交点坐标为2,1，直线在轴上的截距是
B. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为
C. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为
D. 直线，，若，则或2
【答案】AC
【解析】
【分析】求出直线方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出再检验即可判断D.
【详解】由，可知，由在轴上的截距为知过点，
所以直线的方程为，即，
对A，联立，解得，即直线与的交点坐标为2,1，
由可得，即直线在轴上的截距是，故A正确；
对B，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点2,1可得，
所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；
对C，由题意过2,1点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和2,1连线所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，所以直线为，即，
所以到距离为，故C正确；
对D，因为，所以，解得或2，
当时，直线与平行，
当时，直线与重合，故D错误.
故选：AC
10. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B. 环比涨跌幅的平均数为0.1%
C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55%
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】选项A中：环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的平均数为，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为，所以D错误.
故选：AC.
11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ）

A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值
B. 当，，时，存在点，使得
C. 当，，时，存在唯一点，使得
D. 当时，的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于D，先判断四点共面，利用“等积变换”求解即可.
【详解】建立如图所示直角坐标系，取为中点，交于点，

以，，，，，
，
由，所以，
，即，
当时，则，故，点在直线上，
所以点到直线的距离为1，三角形面积为，
又因为到平面的距离为，
所以是定值，故A正确；
当时，则，
则，，
因为，故，即，
即不存在点，使得，故B错误；
当时，则，
若，则，
解得 或，又因，故存唯一点使得，故C正确；
若时，则四点共面，
当与平面垂直时，的最小，
利用等体积法，则，
则可求解到的距离为，
，则，则的最小值为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.
【详解】，直线的方程为，
由解得，设，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得,
则，设，
则，
整理得，解得或（舍去），
则，，
直线的方程为.
故答案为：

13. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则_______________.

【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解.
【详解】依题意，设，
则，，，

由为底面中心，
，
又因为四点共面，
所以且，
所以，即，
即.
故答案为：.
14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】0.18
【解析】
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.
（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；
（2）判断事件与是否相互独立，并证明.
【答案】（1）不正确；理由见解析；
（2）事件与不相互独立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断；
（2）利用独立事件的判定方法进行判断.
【小问1详解】
两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种；
事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种；
事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种；
所以，故小明的判断不正确.
【小问2详解】
事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故；
因为，；
所以事件与不相互独立.
16. 如图所示，平行六面体中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
，
则
，
所以.
【小问2详解】
由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
17. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．

（1）求证：；
（2）当二面角的余弦值为时，
（ⅰ）求三棱锥的体积．
（ⅱ）直线与面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，再求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解.
（ⅱ）根据线面角的向量法求解得出线面角正弦值，再由同角三角函数的平方关系得出余弦值.
【小问1详解】
作交于，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为，，且平面，，
所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
（ⅰ）以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标，如图所示，

则，
设，因为，所以，
因为，所以，
即，又由，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
又因为为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
因为，解得（舍去）或，
所以点或，即点到平面的距离为.
所以三棱锥的体积为.
（ⅱ）当点时，,
又平面的一个法向量，
设直线与面所成角为，
则，所以，
当点时，同理可得，
综上，直线与面所成角的余弦值为.
18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
（3）为了检测技术人员业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
【答案】（1）61，241；
（2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
（3）（ⅰ），（ⅱ）乙更容易晋级复赛
【解析】
【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可；
（ⅱ）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.
【小问1详解】
由题，可知
．
．
【小问2详解】
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【小问3详解】
（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为：
，共10种，
其中得0分的情况有：，4种，
所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为；
（ⅱ）甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，
甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：，
所以甲晋级复赛的概率为；
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，
乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：，
所以乙晋级复赛的概率为，
因为，所以乙更容易晋级复赛.
19. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．

（1）若F为中点，试确定点G的位置，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．
【答案】（1）点G为棱上靠近点的三等分点，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置；
（2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值；
（3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围．
【小问1详解】
在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面，
则有平面平面，，即A，G，P三点共线．
因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以，
所以，即点G为棱上靠近点的三等分点．
【小问2详解】
在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面，
在平面内作于点M，则平面ABC，
又平面，所以，
在平面内作于点N，连接，
又平面，，所以平面，
平面，所以，
所以为截面与底面所成锐二面角的平面角．
在中，作于点H，，，，，
，，
由余弦定理，则，
，可得，所以，
又，所以，
故截面与底面所成锐二面角的正切值为.
【小问3详解】
设，则，．
设的面积为S，所以，
又因为，所以，且，
故，令，则，
设，
当时，，
，，，则，即，
所以在上单调递减，
所以，，所以，
所以．
【点睛】方法点睛：
空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决.
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