2024年天一名校高考数学经典模拟试卷一

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷一，共27页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2023秋·高三·辽宁省实验中学·期中]设集合,,,则( )
A.B.C.D.
1．答案：D
解析：由题意可知:
,
故选:D.
2．[2023秋·高三·四川眉山·月考校考]若复数z满足,则( )
A.1B.5C.7D.25
2．答案：B
解析：由题意有,
故.
故选：B.
3．[2023秋·高三·辽宁省实验中学·期中]在平行四边形ABCD中,,,,E为AB的中点,若,且,则( )
A.B.C.1D.2
3．答案：D
解析：如图所示,设向量,,则,,且,
所以
由E为AB的中点,可得,
又由,可得,
因为,可得
,解得.
故选:D.
4．[2024届·河南濮阳·模拟考试校考]“环境就是民生,青山就是美丽,蓝天也是幸福”,随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过,若要使该工厂的废气达标排放,那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为( )
（参考数据：）
A.5B.7C.8D.9
4．答案：C
解析：设该污染物排放前过滤的次数为,由题意,即,
两边取以10为底的对数可得,即,
所以,
因为,所以,
所以,又,所以,即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.
故选：C.
5．[2023秋·高二·江苏海安高级中学·月考]设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．答案：B
解析：令,则
令,则
则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.
作出和的图像,观察交点个数,
可知使得的最短区间长度为,最长长度为,
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B.
6．[2024春·高三·四川内江·开学考试校考]已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,,成等比数列.令,则数列的前50项和( )
A.B.C.D.
6．答案：D
解析：因为,,,
由题意得,
解得,
所以,
则,
则.
故选：D.
7．不过原点的直线（，）与双曲线（，）交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.若直线OM的斜率小于，则双曲线E的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．答案：B
解析：设点，则有，
两式作差得，即，设，则有，，又，，代入整理得，即.由题意知，因为，所以，，又，所以，解得，即，则.故选B.
8．[2023届·四川绵阳中学·模拟考试]已知函数,若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围( )
A.B.C.D.
8．答案：A
解析：因为,由,
可得,
所以,,
令,其中,则,
所以,函数在R上单调递增,
由可得,
所以,,所以,,其中,
令,其中,则.
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,所以,,解得.
故选：A.
9．[2023秋·高三·青海西宁·月考校考]设集合,集合,则集合( )
A.B.C.RD.
9．答案：A
解析：由,可知,
由,可知.
则.
故选:A.
10．[2023秋·高二·绵阳南山中学·月考]在三棱锥中,,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上一点,且,O为的重心,则O到直线EF的距离为( )
A.2B.1C.D.
10．答案：C
解析：以A为原点,AB, AC, AD所任的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空问直角坐标系,则,,,,
得 ,
取,则,
所以点D到直线AB的距离为.
故选：C.
11．[2023秋·高三·四川眉山·月考校考]函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
11．答案：D
解析：因为,,
所以为偶函数,所以函数图象关于轴对称,所以排除A,C选项;
又,所以排除B选项,
故选：D.
12．已知P是抛物线上的一点,过点P作直线的垂线,垂足为H,若Q是圆上任意一点,则的最小值是( )
A.B.4C.5D.6
12．答案：D
解析：抛物线的焦点是,准线方程是,PH与准线的交点是,
圆C的半径为,圆心为,
依题意作下图：
由图可知： , ,
当C,P,F三点共线时最小,
的最小值是6;
故选：D.
13．[2023秋·高二·四川绵阳·期末校考]在直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
13．答案：A
解析：以点C为原点,以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
,,所以,,
所以,
故选：A.
14．[2023秋·高二·内蒙古·开学考试]过椭圆上一点M作圆的两条切线,A,B为切点,过A,B的直线l与x轴和y轴分别交于P,Q两点,则(O为坐标原点)面积的最小值为( )
A.B.C.D.
14．答案：B
解析：设点,,则,
设,,则点A处的切线方程为,
点B处的切线方程为,
由于这两条切线都过点,则,,
故直线AB的方程为,
令,,令,,
即,,则,
由于,,
当且仅当,即时等号成立,
故,
即面积的最小值为,
故选:B
15．[2023秋·高三·辽宁省实验中学·期中]已知函数,若对任意的正数a,b,满足,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
15．答案：B
解析：对任意的,,所以,函数的定义域为R,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在R上为增函数,
所以,函数在R上为增函数,
对任意的正数a,b,满足,则,
所以,,即,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为.
故选:B.
二、多项选择题
16．[2023秋·高二·四川凉山州·期末]下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图,则下列说法正确的是( )
A.这10年粮食年产量的极差为15
B.这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C.这10年粮食年产量的中位数为29
D.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
16．答案：ABC
解析：A选项,将样本数据从小到大排列25,26,27,28,28,30,33,36,37,40,
这10年的粮食年产量极差为,故A正确;
B选项,,结合A选项可知第65百分位数为第7个数33,故B正确;
C选项,从小到大,选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数,
这10年的粮食年产量的中位数为,故C正确;
D选项,结合图形可知,前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动,
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差,故D错误;
故选:ABC.
17．[2023秋·高二·西藏拉萨·期末联考]已知椭圆,则下列各选项正确的是( )
A.若E的离心率为,则
B.若,E的焦点坐标为
C.若,则E的长轴长为6
D.不论m取何值,直线都与E没有公共点
17．答案：BCD
解析：对于A,当椭圆的焦点在x轴上时,此时,,;
但当椭圆的焦点在y轴上时,此时,,,,解得,
综上,若E的离心率为,则或,故A错误;
对于B,若,则E的焦点在y轴上,,,,即E的焦点坐标为,故B正确;
对于C,若,则E的焦点在x轴上,,所以E的长轴长为,故C正确;
对于D,由题意方程表示椭圆E,所以,
在中令,得,即,
结合可知,,这与矛盾,
这表明了不论m取何值,直线都与E没有公共点,故D正确.
故选:BCD.
18．[2023秋·高二·江苏海安高级中学·月考]香囊,又名香袋､花囊,是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品,香囊形状多样,如图1所示的六面体就是其中一种,已知该六面体的所有棱长均为2,其平面展开图如图2所示,则下列说法正确的是( )
A.B.直线CD与直线EF所成的角为
C.该六面体的体积为D.该六面体内切球的表面积是
18．答案：AD
解析：由题知,所给六面体由两个同底面的正四面体组成,将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示,其中A,C,F,H四点重合.
对于A：取DE的中点M,连接AM,BM,则,.
又
平面ABM
又平面ABM
故A正确.
对于B：由图可知,CD与EF分别为正三角形ADE的边AD,AE,其所成的角为
故B错误.
对于C：连接GM,过点G作平面ADE,则垂足O在AM上,且,
该六面体的体积
故C错误.
对于D：该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面ADE上
又为正三角形
点O即为该六面体内切球的球心,且该球与GM相切
过点O作,则ON就是内切球的半径.
在中,
该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.
19．[2023秋·高二·浙江·月考联考]数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形的边长为，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推……对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推……下列说法正确的是( )
A.
B.数列是以为公比的等比数列
C.数列的前项和小于
D.任意两个阴影三角形的最大边都不平行
19．答案：ACD
解析：正六边形的边长为1，
正六边形的每个内角为，
由题知，在中，，，
由余弦定理得，
则，，
易知，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，数列是以为公比的等比数列，故B错误；
对于C选项，的前2023项和为：
，故C正确；
对于D选项，记阴影三角形的最小角为，
由余弦定理得，
若存在两条最大边平行，则无限缠绕后，最终最小角顶点无限重合，
即存在（其中n，k为正整数），使得，
由，
.
持续计算，可知不可能使，故不存在两最大边平行，故D错误.
故选：AC.
20．[2023秋·高三·辽宁省实验中学·期中]m,n是两条不同的直线,,是两个不重合的平面,下列说法正确的是( )
A.m,n是异面直线,若,,,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
20．答案：AD
解析：对于A选项,在直线m上取一点O,过点O作直线,使得,
过直线n作平面,使得,如下图所示:
因为,,,则,又因为,则,
因为,,则,设直线m,确定平面,
因为,,m,,所以,,同理可证,故,A对;
对于B选项,若,,则或,B错;
对于C选项,若,,,则,相交(不一定垂直)或平行,C错;
对于D选项,因为,,则,
过直线n作平面,使得,如下图所示:
因为,,,则,
因为,则,又因为,所以,,D对.
故选:AD.
21．已知双曲线的上､下焦点分别为,,点P在双曲线C的上支上,点,则下列说法正确的有( )
A.双曲线C的离心率为
B.的最小值为8
C.周长的最小值为
D.若内切圆的圆心为M,则M点的纵坐标为3
21．答案：BCD
解析：对于A：,A错误;
对于B：的最小值为,B正确;
对于C：如图,
的周长（当且仅当Q,P,三点共线时取等号）,C正确;
对于D：如图,
设的内切圆分别与,,切于点A,B,D,
则,,, .
又, , , M点的纵坐标为3,D正确.
故选：BCD.
三、填空题
22．[2023秋·高三·青海西宁·月考校考]曲线在点处的切线方程为________.
22．答案：
解析：由题,当时,,故点在曲线上.
求导得:,所以.
故切线方程为.
故答案为:.
23．[2023届·江苏海安高级中学·一模]展开式中含项的系数为________________.
23．答案：-60
解析：,
设该二项式的通项公式为,
因为的次数为3,所以令,
二项式的通项公式为,
令,
所以项的系数为,
故答案为：-60.
24．[2023秋·高三·辽宁锦州·月考联考]在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,平面ABC,若P,A,B,C四点都在表面积为的球的球面上,则三棱锥的体积为______.
24．答案：或
解析：设为正的中心,M为PA的中点,
过点作平面ABC的垂线l,由于平面ABC,故,
在l,PA确定的平面内作,垂足为O,则四边形为矩形,
连接,,,则,
故,则O即为三棱锥外接球的球心,
因为P,A,B,C四点都在表面积为的球的球面上,
设外接球半径为R,故,
是边长为2的等边三角形,故,
故,
所以三棱锥的体积,
故答案为:
25．[2023届·四川绵阳中学·模拟考试]对于数列,定义为数列的“加权和”,已知某数列的“加权和”,记数列的前n项和为,若对任意的恒成立,则实数p的取值范围为___________．
25．答案：
解析：由题意可得,
时,,
两式相减可得：,
化为,
时,,满足上式,
故,,
故,
对任意的恒成立,
∴ ,即,
解得,即,
故答案为：.
26．[2023届·四川绵阳中学·模拟考试]在四棱锥中,平面BCDE,,,,且,则该四棱锥的外接球的表面积为_____________.
26．答案：
解析：连接BD,CE,
因为,,所以E,C,B,D在直径为BD的圆上,
取BD的中点,即四边形BCDE外接圆的圆心,
在中,即,解得,
所以四边形BCDE外接圆的直径即外接圆的直径为,
所以,
因为平面BCDE,所以四棱锥的外接球的球心O与底面BCDE的距离为,
所以四棱锥外接球的半径为,对应的表面积为
故答案为：.
四、解答题
27．[2023秋·高三·辽宁省实验中学·期中]在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,
（1）求角B的大小;
（2）若,,求的值.
27．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
所以,
,
因为B,,所以,,则,故.
（2）因为,,,
由余弦定理可得,则,
由正弦定理可得,所以,.
28．[2023秋·高二·江西宜春·月考校考]如图,直三棱柱的底面为等边三角形,,M,N分别为BC,的中点.
（1）证明：平面;
（2）若三棱锥的体积为,求平面与平面夹角的余弦值.
28．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接AM.由直三棱柱底面为等边三角形,
则,且平面ABC.
以M为坐标原点,MA,MB所在直线分别为x,y轴,
以过M与平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
因为,
所以,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）因为平面,平面,
所以平面平面.
在平面内,取的中点D,连接,
则,又平面平面,平面,
所以平面,且,
由,得,
即,所以,
则,,
,.
设平面的法向量为,
由得
令,则,
设平面的法向量为,
由得
令,则,
所以,
故平面与平面夹角的余弦值为.
29．[2023秋·高二·江西宜春·月考校考]已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,且的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程;
（2）抛物线的准线与x轴交于点T,过点T的直线l交抛物线C于M,N两点,若以MN为直径的圆过点F,求直线l的方程．
29．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可知,
所以,所以．
又点在抛物线上,所以,
又,所以,所以抛物线的标准方程为．
（2）由题意,,
当直线l斜率为0时,显然不成立,
所以直线l斜率不为0,设直线l方程为,
设,
由消元得,
所以,,
因直线l交抛物线C于M,N两点,
所以,
解得,即或,
因为以MN为直径的圆过点F,
所以
又,
所以
所以,
所以符合题意,
所以直线l的方程为,即或.
30．[2023秋·高二·江西宜春·月考校考]已知,B,M是椭圆C上的三点,其中A、B两点关于原点O对称,直线MA和MB的斜率满足.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点Q作斜率不为0的直线l,l与椭圆的两个交点分别为P、N,若为定值,则称点Q为“稳定点”,问：是否存在这样的稳定点？若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.
30．答案：（1）
（2）存在,,理由见解析
解析：（1）设,易知,
由,得,
化简得,故椭圆的标准方程为.
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于A、B的任意一点,
故可设直线PN的方程为,,,
由,得,
,,恒成立.
又,,
,
,
要使其值为定值,则,
故当,即时,.
综上,存在这样的稳定点.