2024年天一名校高考数学经典模拟试卷二

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷二，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2023秋·高二·云南保山·期末校考]已知集合,,则( )
A.B.C.D.
1．答案：C
解析：,,
.
故选：C.
2．[2024届·辽宁·模拟考试]若复数,则( )
A.B.C.D.
2．答案：B
解析:因为,所以.
3．[2023春·高三·河北承德·月考校考]已知向量,,若与共线,则等于( )
A.B.C.-2D.2
3．答案：A
解析：易得,
因为与共线,
所以,
即,所以.
故选：A.
4．[2024届·湖北武汉·模拟考试]成语“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,意思是在小小的军帐之内作出正确的部署,决定了千里之外战场上的胜利,说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷,又称“幄帐”,如图是一种幄帐示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊的长度相等,一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为,底面矩形的长与宽之比为,则正脊与斜脊长度的比值为( )
A.B.C.D.
4．答案：B
解析：如图,多面体中,取AB的中点C,做交MN于Q,
做底面ABNM于E点,则E点在CQ上,且E点到BN,AM的距离相等,即,做于H点,连接EH,,则平面DHE,
所以,所以坡面与底面所成二面角为,又,则平面DCE,
所以,坡面与底面所成二面角为,
所以正切值,
不妨设,,
可得斜脊,因为矩形宽,
所以长为8,这样正脊,所以正脊与斜脊长度的比值为即.
故选：B.
5．[2023秋·高二·吉林·期末联考]已知公差的等差数列前n项和为,满足,则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.是中的最大值D.是中的最小值
5．答案：B
解析：由题意,即,
所以,故B正确;
当时,可得,此时,是中的最小值,
当时,可得,此时,是中的最大值,故ACD错误.
故选：B.
6．已知函数的最大值为，则( )
A.B.C.D.
6．答案：B
解析：因为，所以，解得，故，.令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，故的最大值是，所以.
7．[2023秋·高二·吉林·期末联考]已知双曲线：,M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点,过右焦点F的直线l交C的右支于A,B两点.若存在直线l使得点M为的重心,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
7．答案：A
解析：依题意,,,,
设,,则AB的中点,
因为点M为的重心,则,,
所以AB中点,
因为,,
两式作差得：,化简得,即,
因为,又因为B,A,F,P四点共线,所以.
故,解得,故.
故选：A.
8．[2024届·安徽·模拟考试联考]某中学开展结合学科知识的动手能力大赛,参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具,原材料为如图所示的,,D是边BC上一点,,,要求分别把,的内切圆,裁去,则裁去的圆,的面积之和为( )
A.B.C.D.
8．答案：C
解析：在,,设,
则,,,
所以,
在中,,,由正弦定理得,
即,即,
化简得或,因为,所以（负值舍去）,,
故为等边三角形,为等腰三角形,,
在中,设圆的半径为,根据等面积有,
即,化简得,
在中,设圆的半径为,根据等面积有,
即,化简得,
所以圆,的面积之和为,
故选：C.
9．[2024届·湖南·模拟考试联考]设复数z满足,z在复平面内对应的点为,则( )
A.B.
C.D.
9．答案：C
解析：因为z在复平面内对应的点为,
所以,则,
又,所以,即.
故选：C．
10．[2024届·湖南·模拟考试联考]已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
10．答案：D
解析：因为,所以,
设与的夹角为,则,所以.
故选：D.
11．[2023秋·高三·内蒙古呼和浩特·期末]函数的图象可能为( )
A.B.
C.D.
11．答案：A
解析：函数的定义域为,
又,
因此函数为奇函数,函数图象关于原点对称,BD错误;
当时,,,则,
因此,C错误,A符合题意.
故选:A
12．[2024届·天津蓟州区·模拟考试校考]如图,在直三棱柱中,,是等边三角形,点为该三棱柱外接球的球心,则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为( )
A.B.C.D.
12．答案：A
解析：取三棱柱上底面中心D,下底面中心,连接,.取中点O,连接
则点O为三棱柱外接球球心,为三棱柱外接球半径.
由,可得,
则
则三棱柱外接球表面积为
延长交与,则为四棱锥的高
则
则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为
故选:A
13．[2023届·武昌实验中学·模拟考试]已知直线与圆交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与y轴交于C,D两点,若,则( )
A.4B.3C.D.
13．答案：A
解析：如图,由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为,
又依据圆的半径、半弦长及圆心距d之间的关系可得,即,也即,解之得,
故直线的斜率为,即该直线的倾斜角为,
依据题设及图形可得,
应选答案A．
14．[2023秋·高二·黑龙江哈尔滨·期末联考]已知等差数列 与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
14．答案：D
解析：因为数列、都是等差数列, 所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选：D.
15．[2023春·高三·云南昆明·月考校考]把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
A.B.C.D.
15．答案：B
解析：解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,
根据已知得到了函数的图象,所以,
令,则,,
所以,所以;
解法二:由已知的函数逆向变换,
第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,
第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,
即为的图象,所以.
故选:B.
二、多项选择题
16．[2023秋·高三·江苏泰州·期末]某校1500名学生参加数学竞赛,随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分）,成绩的频率分布直方图如图所示,则( )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225
16．答案：AD
解析：由,可得,故A正确;
前三个矩形的面积和为,
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80,故B错误;
由成绩的频率分布直方图易知,这40名学生的竞赛成绩的众数为75,故C错误;
总体中成绩落在内的学生人数为,故D正确.
故选：AD.
17．[2023春·高三·云南昆明·月考校考]对于函数,下列选项正确的是( )
A.函数极小值为,极大值为
B.函数单调递减区间为,单调递增区为
C.函数最小值为为,最大值e
D.函数存在两个零点1和
17．答案：AD
解析：的定义域为,
所以,
所以为奇函数,
当时,,,
令,解得,
当时,,则为单调递增函数,
当时,,则为单调递减函数,
因为为奇函数,图象关于原点对称,
所以在上单调递减,在是单调递增,
所以的极小值为,极大值为,故A正确;
的单调递减区间为,,单调递增区为,,故B错误;
无最值,故C错误;
令,解得,结合的单调性可得,存在两个零点1和,故D正确.
故选:AD
18．[2024秋·高三·湖南长沙·开学考试联考]“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术,更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图,“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.半圆的方程为,半椭圆的方程为.则下列说法正确的是( )
A.点A在半圆上,点B在半椭圆上,O为坐标原点,,则面积的最大值为6
B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C.若,,P是半椭圆上的一个动点,则的最小值为
D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线,其交点都在与椭圆同中心的圆上.称该圆为椭圆的蒙日圆,那么半椭圆扩充为整个椭圆后,椭圆的蒙日圆方程为
18．答案：ABD
解析：对于A,因为点A在半圆上,点B在半椭圆上,O为坐标原点,,
则,,
则,
当B位于椭圆的下顶点时取等号,
所以面积的最大值为6,故A正确;
对于B,半圆上的点到O点的距离都是3,
半椭圆上的点到O点的距离的最小值为3,最大值为4,
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7,故B正确;
对于C,,是椭圆的两个焦点,
在中,,由余弦定理知：
,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为,故C错误;
对于D,由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点,在椭圆中取两条切线：和,它们交点为,
该点在蒙日圆上,半径为
此时蒙日圆方程为：,故D正确.
故选：ABD.
19．[2024届·湖南·模拟考试联考]已知圆锥SO的侧面积为,母线,底面圆的半径为r,点P满足,则( )
A.当时,圆锥SO的体积为
B.当时,过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C.当时,从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为
D.当时,棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
19．答案：AC
解析：由已知,
当时,,此时圆锥的高为,
此时圆锥的体积为,A正确;
当时,设圆锥轴截面为,
因为圆锥SO的侧面积为,所以,
即,,,
所以为钝角,
故截面三角形的最大面积为,B错误;
当时,,侧面展开图的弧长为,沿SA将侧面展开,得扇形,
所以圆心角为,
又,所以,
在中,由余弦定理得,C正确;
将正四面体放到正方体内,则正四面体的外接球与正方体的外接球相同,
若正四面体的棱长为,则正方体的棱长为1,则外接球半径为,
由题圆锥SO母线时,其侧面积为,
则圆锥的高,
设内切球半径为R,球心为N,球与母线SA相切于T,则,
易知,则,
解得,不可以任意转动,D错误．
故选：AC．
20．[2023秋·高二·泰安一中·期末]已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点A关于x轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A.B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线D.
20．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项B不正确;
,设,联立方程组,,
则,所以,
即直线BD过点F,选项B正确;
对于D选项,,,
,选项D正确.
正确答案是：CD.
21．[2024届·重庆·一模]有款小游戏,规则如下：一小球从数轴上的原点0出发,通过扔骰子决定向左或者向右移动,扔出骰子,若是奇数点向上,则向左移动一个单位,若是偶数点向上,则向右移动一个单位,则扔出n次骰子后,下列结论正确的是( )
A.第二次扔骰子后,小球位于原点0的概率为
B.第三次扔骰子后,小球所在位置是个随机变量,则这个随机变量的期望是
C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率
D.第五次扔完骰子,小球位于1的概率大于小球位于3概率
21．答案：AD
解析：扔出骰子,奇数点向上的概率为,偶数点向上的概率亦为;
对A：若两次运动后,小球位于原点,小球在两次运动之中一定一次向左一次向右,
故其概率为,故A正确;
对B,设这个随机变量为X,则X的可能取值为-3、-1、1、3,
其中,,
故其期望
,
故B错误;
对C：第一次扔完骰子小球位于-1,即第一次向左移动,且第五次位于1,
则后续中小球向右3次,向左1次,故其概率为,
故C错误;
对D：第五次扔完骰子,小球位于1,即两次向左,三次向右,故其概率,
小球位于3,则四次向右,一次向左,故其概率,有,故D正确.
故选：AD.
三、填空题
22．[2023春·高二·海南儋州·期中校考]在的展开式中,x的系数是___________（用数字作答）.
22．答案：240
解析：的展开式的通项为：,,1,···,6
当,即时,展开式x的系数为：.
当显然不成立;
故答案为：240.
23．[2024届·重庆·一模]已知函数在区间上单调递增,那么实数的取值范围是_________.
23．答案：
解析：因为,
由且,知,
因为函数在区间上单调递增,
则,其中,
所以其中,
解得,其中,
由,
得,又,
所以或,
因为,所以当时,;
当时,,
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
24．[2024届·湖南·模拟考试联考]已知是定义在R上的奇函数,且,都有,当时,,则函数在区间内的所有零点之和为___________．
24．答案：
解析：因为是定义在R上的奇函数,,
则,
所以函数的周期为4,
因为,,所以关于对称,
因为周期为4,所以关于直线,对称,
作出函数在区间上的图象,由图知共有5个零点,
其横坐标从小到大依次为,,,,
所以,,,
．
故答案为：.
25．定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前n项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数a的取值范围是___________.
25．答案：
解析：依题意当时，，
，
当时，
，
，，，，，且时，，
，
要使数列的变号数为2，则，解得或，即.
故答案为：.
26．[2024届·安徽·模拟考试联考]为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）;当向量,时,有,即,当且仅当时等号成立;学生乙从这个结论出发．作一个代数变换,得到了一个新不等式：,当且仅当时等号成立,并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时,的最小值是___________．
26．答案：-1
解析：由题意得,
则
,
当且仅当,即时,等号成立,
即,则,
所以,最小值为,此时．
故答案为：-1.
四、解答题
27．[2024届·辽宁·模拟考试]已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和.
27．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）因为,
所以,
所以.
因为,,所以,所以,
所以,,,…,是首项为1,公差为3的等差数列,
,,,…,是首项为2,公差为3的等差数列,
则,
故.
（2）当n为奇数时,
当n为偶数时,
.
综上,.
28．[2024届·湖南·模拟考试联考]杭州第19届亚运会后,多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况,随机选取了10所高校进行研究,得到数据绘制成如下的折线图：
（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记可作为“基地校”的学校个数为,求的分布列和数学期望;
（2）现有一个“艺术体操”集训班,对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中,某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次,那么理论上至少要进行多少轮测试？
28．答案：（1）
（2）理论上至少要进行23轮测试
解析：（1）参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所,所有可能取值为0,1,2,3,
则,
,
所以的分布列为：
所以;
（2）由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为,
则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布,即满足,
由,
所以理论上至少要进行23轮测试．
29．[2023届·武昌实验中学·模拟考试]如图,在四棱锥中,底面ABCD梯形,,,,,平面平面ABCD,E为棱PB上一点．
（1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能,请画出直线并加以证明;若不能,请说明理由;
（2）若时,求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
29．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过E作,交棱PA于F,EF为所求作的直线,
因为平面平面ABCD,且,
所以平面PAD,
又因为,所以平面PAD．
（2）取AD中点O,BC中点M,连接OM,则平面PAD,
以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OM所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,
建立空间直角坐标系．
则可得,,,,
则,．
设平面PBC的法向量为,易得,
不妨取．
因为,所以,所以
设AE与平面PBC所成角为,则．
所以AE与平面PBC所成角的正弦值为．
30．在中,已知.
（1）求的值;
（2）若,M为AC中点,,求的值.
30．答案：（1）
（2）或
解析:
（1）原式
（2）,设,
在中,,
当时,,
,
当时,,
,
或
0
1
2
3
P