2024年天一名校高考数学经典模拟试卷八

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷八，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2024秋·高一·厦门双十中学·月考]已知全集,且,,则( )
A.B.C.D.
1．答案：B
解析：因为,且,
所以,
因为,,所以,
所以.
故选：B.
2．[2024届·四川凉山州·一模]已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．答案：D
解析：，
故选D
3．[2023秋·高二·山东烟台·开学考试校考]若平面的一个法向量，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
3．答案：B
解析：由题意设l与所成角为，设向量与的夹角为，
平面的一个法向量，直线l的一个方向向量为，
故选:B.
4．[2024春·高二·甘肃临夏州·期末]在某次测量中,若随机变量,且,则( )
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
4．答案：C
解析：因为随机变量,则,
则.
故选：C.
5．[2024届·安徽·模拟考试联考]如图,在棱长为2的正方体中,内部有一个底面垂直于的圆锥,当该圆锥底面积最大时,圆锥体积最大为( )
A.B.C.D.
5．答案：C
解析：如图所示,取AB,AD,,,,的中点,记为M,N,E,F,P,G,
易知六边形MNEFPG为正六边形,此时的中点在正六边形的中心,当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG时该圆锥的底面积最大,设此时圆锥底面圆半径为,因为,所以,圆锥底面积为,圆锥顶点为(或)处,此时圆锥体积最大,此时,故选C.
6．[2023秋·高三·内蒙古赤峰·月考校考]在等比数列中,,,则( )
A.B.C.D.11
6．答案：A
解析：设,
则
,所以.故选:A
7．[2024届·广东佛山·模拟考试]设抛物线的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若，，则( )
A.B.2C.D.4
7．答案：D
解析：如图所示，作，
由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D.
8．[2024秋·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试校考]若函数有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．答案：A
解析：,,
故原命题等价于关于x的方程在上有两个不同的实数根,
即关于x的方程在上有两个不同的实数根,
令,则,
所以关于的方程在上有两个不同的实数根,
令,,
因为在上单调递增,故在上的值域为,
因为在上单调递减,故在上的值域为,
而,从而实数a的取值范围是.
故选:A.
9．命题，命题q：函数在上单调，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9．答案：A
解析：设，则可化为.
充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立.
必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减.
综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立.所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
10．[2024届·广东广州·模拟考试]已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10．答案：D
解析：由题意可得：，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
11．[2024届·湖南长沙·模拟考试联考]深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为( )（参考数据：）
A.72B.74C.76D.78
11．答案：B
解析：由于，所以，
依题意，则，
则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次.
故选：B
12．[2024春·高一·河南驻马店·月考校考]下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是( )
A.B.C.D.
12．答案：D
解析：由三角函数性质知选项AB中函数都是奇函数,C中函数是偶函数,但它在上是减函数,也排除,只有D可选,
实际上,记,
则 ,它是偶函数,
又设,则,
因此,即 ,在上是增函数,满足题意.
故选：D.
13．[2024春·高二·山西太原·期中]已知,分别是等差数列和等比数列,其前n项和分别是和,且,,,则( )
A.9B.9或18C.13D.13或37
13．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则,,
由得,即,①
,
即,
解得或,
代入①得或,
则或9,
故选:B.
14．[2024秋·高三·广西钦州·开学考试联考]若，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
14．答案：C
解析：由，，消去c得到，
令，.则，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选:C.
二、多项选择题
15．[2024届·广东佛山·模拟考试]已知角的终边过点，则( )
A.B.C.D.
15．答案：ABD
解析：因为角的终边过点，
所以，，，
所以，
，故A和B正确，
因为，
所以，即角的终边位于第一象限或第三象限，
所以，但或均满足题意，故C错误，
由，得，
解得（舍去）或，故D正确.
故选：ABD.
16．[2023秋·高三·安徽合肥·期中联考]已知函数,的定义域为R,为的导函数且,,若为偶函数,则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
16．答案：BD
解析：对于D,为偶函数,则,
两边求导可得,则为奇函数,
则,令,则,,D对;
对于C,令,可得,则,C错;
对于B,,可得,
可得,
两式相加可得,
令,即可得,B对;
又,
则,
,可得,
所以是以4为周期的函数,
所以根据以上性质不能推出,A不一定成立.
故选:BD
17．[2024春·高三·吉林通化·开学考试校考]已知双曲线的渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
A.B.C的离心率为
C.曲线经过C的一个顶点D.与有相同的渐近线
17．答案：ACD
解析：双曲线的渐近线方程为,
所以,解得,(舍去),故A正确;
双曲线,
所以C的离心率为,故B错误;
双曲线的顶点为,
因为,所以曲线经过C的一个顶点,故C正确;
对于D,令,则,即的渐近线方程为,故D正确.
故选:ACD.
18．[2024春·高一·湖南衡阳·期末校考]下列命题中,真命题是( )
A.,使得
B.
C.幂函数在上为减函数,则m的值为-1
D.,是的充分不必要条件
18．答案：CD
解析：对于A,由指数函数值域可知,对于,恒成立,所以A是假命题;
对于B,取特殊值,则,所以B是假命题;
对于C,由幂函数性质可得,解得或;
又在上为减函数,所以,即可得,即C为真命题;
对于D,显然,能推出;而时,可使,,此时推不出,,
所以,是的充分不必要条件,即D是真命题;
故选：CD.
三、填空题
19．[2024届·上海奉贤区·模拟考试]学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
19．答案：
解析：易知四棱锥的底面积，
高为，
所以四棱锥的体积为，
长方体为，
因此该模型的体积为，
所以该模型所需原料的质量为.
故答案为：.
20．[2024届·广东深圳·模拟考试]若函数的最小正周期为,其图象关于点中心对称,则______.
20．答案：
解析：由得,,所以,
又的图象关于点中心对称,
所以,,解得,,又,
所以,,.
故答案为:
21．[2023秋·高二·山东菏泽·期末]已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为__________.
21．答案：
解析：圆可化为:,
所以圆心为,半径为 4 ,不妨取双曲线一条渐近线为,
即,由题意圆上恰有 3 点到直线的距离为2,
只需圆心到直线 的距离,
即 ,所以,
所以该双曲线的离心率为
故答案为:.
22．[2023春·高二·江苏常州·月考联考]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为__________.
22．答案：
解析：建立坐标系如图所示.设，则，.设，则，
由于异面直线所成角的范围为，
所以，，
令，，则，当时取等号.
所以，当时，取得最大值.
23．[2023秋·高二·湖南长沙·月考校考]若直线，，，不能构成三角形，则m的取值集合是________.
23．答案：
解析：由，解得，即直线与的交点为，
因为直线，，，不能构成三角形，
所以过点M或或，
若过点M，则，即，
若，则，即，
若，则，即，
综上，m的取值集合为.
故答案为：.
24．[2024秋·高二·江苏宿迁·月考校考]已知为圆上一点,则的取值范围是___________.
24．答案：
解析：设,则直线与C有公共点.圆C的方程化为标准方程为,圆心,半径为3,圆心到直线的距离,即,,,即的取值范围是.
25．[2024春·高一·天津·期末]一个射击运动员打靶6次的环数为：9,5,7,6,8,7,则这组数据的方差为____________.
注：一组数据,,…,的平均数为,它的方差为.
25．答案：
解析：因为,
所以
.
故答案为：.
四、解答题
26．[2024届·湖北荆州·模拟考试校考]的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求.
26．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，即由正弦定理，且所以，且.则，，所以.
（2）因为，由正弦定理得.
又，，所以，
整理可得，即，
所以，所以或，即或，
当时，；当时，.综上，.
27．[2024秋·高三·广西钦州·开学考试联考]如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点F，连接AF.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
27．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）四边形为矩形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又平面，.
，点E是的中点，.
又，平面，平面.
平面，.
又，，平面，平面，
平面，.
（2）如图，因AB，AD，AP两两垂直，
故可以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，.
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量.
设平面与平面的所成角为，
，，
平面与平面所成角的正弦值为.
28．[2024秋·高三·广西钦州·开学考试联考]已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.
28．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，函数，求导得，则，
而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以a的取值范围为.
29．[2024春·高二·吉林通化·期末联考]每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了200人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位:小时）,并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求a的值;
（2）根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）;
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
附:,其中.
29．答案：（1）
（2）48.6
（3）有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关
解析：（1）由频率分布直方图可知,,可得;
（2）由频率分布直方图可得:
,
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间;
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:
,
则“睡眠不足”的人数为50;
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:,则“睡眠不足”的人数为90,
列联表如下:
因为,
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
30．[2024秋·高二·江西吉安·开学考试校考]已知椭圆的离心率为,椭圆的左,右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线与x轴交于点工,与椭圆C交于P,Q两点,过点P作x轴的垂线交椭圆C交于另一点R,求面积的最大值.
30．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设椭圆C的焦距为2c,则,即,则,,
由C的左,右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为,得,
即,解得,,
所以椭圆C的方程为.
（2）显然,设,,则,
由消去x得,,
则,,
又,,而与同号,
因此
,
当且仅当,即时等号成立,
所以面积的最大值为.
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
150
50
200
不常参加体育锻炼人员
110
90
200
总计
260
140
400