2024年天一名校高考数学经典模拟试卷十

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷十，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2023秋·高二·江苏盐城·开学考试校考]已知复平面内,复数对应的点满足,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
1．答案：A
解析：由,
复数z对应的点满足,则,解得,
所以,得复数z的虚部为.
故选:A.
2．[2024秋·高一·江苏·月考校考]已知命题“,”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．答案：C
解析：因为命题“,”为真命题,
所以命题“,”为真命题,
所以时,.
因为,
所以当时,,此时.
所以时,,即实数a的取值范围是.
故选:C.
3．[2024秋·高二·广东·月考联考]已知向量,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3．答案：C
解析：因为,,
所以,
当时,等号成立,故的最小值为.
故选:C.
4．[2024春·高一·河南驻马店·月考]把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的倍，再把纵坐标伸长到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是( )
A.B.C.D.
4．答案：C
解析：将上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，
得到，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到，
将上所有点向左平移个单位，
得到，
故选：C.
5．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
5．答案：A
解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，故动圆圆心的轨迹方程为，故选A.
6．[2025届·广西南宁·模拟考试校考]设函数，，曲线与恰有一个交点，则( )
A.B.0C.D.
6．答案：C
解析：令函数，
可得
，即，所以函数关于直线对称，
因为函数与恰有一个交点，所以，
可得，解得，
当，时，，，所以.
故选：C.
7．[2024秋·高三·广西南宁·月考]已知正三棱台的侧面积为6,,,则与平面ABC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．答案：A
解析：设中心为,中心为O,
如图,连接,,OA,由正棱台的性质可知,,平面ABC,
平面ABC,则,
在直角梯形中,过作,垂足为H,则,
则四边形为平行四边形,且平面ABC.
所以即为所求与平面ABC所成角.
在等腰梯形中过作,垂足为D,
设,则,则,
在中,,
由正三棱台侧面积为6,可知梯形的面积为2,
故,解得,则,,
在四边形中,,
则,
则在中,.
故侧棱与平面ABC所成角的余弦值为.
故选:A.
8．[2024秋·高三·广东·月考]若则的最小值为( )
A.B.10C.D.2
8．答案：B
解析：的几何意义是点与函数的图象上任意一点距离的平方,即,
要使得存在最小值,必须,即,
即在上有解,
令,
当,恒成立,
所以在上至多存在一个零点,
因为,
所以在上存在一个零点3,
所以取得最小值为.
故选：B.
9．[2024秋·高一·江苏·月考校考]设集合,,若,则( )
A.1B.0C.-1D.1或-1
9．答案：A
解析：由题意,当时,,此时不满足集合中元素互异性;
当时,且,则,此时满足条件.
故.
故选：A.
10．[2024秋·高一·江西景德镇·月考校考]已知奇函数满足，当时，，则( )
A.B.C.D.
10．答案：B
解析：因为，
所以，，
故，
因为为奇函数，所以.
故选：B
11．已知一扇形的周长为40,当扇形的面积最大时,扇形的圆心角等于( )
A.2B.3C.1D.4
11．答案：A
解析：设扇形所在圆半径为r,则该扇形弧长,,
于是该扇形的面积,当且仅当时取等号,
所以当时,扇形的面积最大,此时扇形的圆心角等于.
故选：A.
12．已知关于x的不等式的解集是,则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.
D.不等式的解集是或
12．答案：C
解析：因为关于x的不等式的解集是,
则,且1,3是方程的两个根,
于是得,解得,,
对于A,由,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C错误;
对于D,不等式化为,
即,解得或,故D正确.
故选：C.
13．[2024秋·高三·湖南师大附中·月考]如图,圆柱的母线长为4,,分别为该圆柱的上底面和下底面直径,且,三棱锥的体积为,则圆柱的表面积为( )
A.B.C.D.
13．答案：A
解析：设底面圆半径为,由,易得,
取的中点O,连接,,
则,,又,,平面,
所以平面,所以,,
解得,所以圆柱表面积为.
故选:A.
二、多项选择题
14．[2024秋·高三·广东·月考]对于函数和,则( )
A.与的零点相同B.与的最小值相同
C.与的最小正周期相同D.与的极值点相同
14．答案：BC
解析：A选项,令,解得,,
令,解得,,
显然,零点不同,A选项错误;
B选项,显然,B选项正确;
C选项,根据周期公式,,的周期均为,C选项正确;
D选项,对令,得,,
对令,得,,
显然,的极值点不同,D选项错误.
故选：BC.
15．[2024秋·高二·云南大理州·开学考试校考]2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是( )
A.2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C.2021年全国居民人均消费支出24100元
D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足
15．答案：ACD
解析：对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确；
对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误；
对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确；
对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确，
故选:ACD.
16．[2025届·黑龙江大庆·模拟考试]已知抛物线的焦点为F,准线交x轴于点D,直线l经过F且与C交于A,B两点,其中点A在第一象限,线段的中点M在y轴上的射影为点N.若,则( )
A.l的斜率为B.是锐角三角形
C.四边形的面积是D.
16．答案：ABD
解析：由题意可知：抛物线的焦点为,准线为,即,
设,,,
则,,可得,
因为,即,
可知为等边三角形,即,
且轴,可知直线l的倾斜角为,斜率为,故A正确;
则直线,
联立方程,解得或,
即,,则,,
可得,,,,,,
在中,,且,
可知为最大角,且为锐角,所以是锐角三角形,故B正确;
四边形的面积为,故C错误;
因为，,所以,故D正确;
故选：ABD.
17．[2024秋·高三·广东揭阳·月考]在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是( )
A.B.
C.D.的面积为
17．答案：ACD
解析：在中，，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知，即，由，解得，故选项C正确；
在中，，则，，故选项D正确.故选ACD.
18．[2024春·高二·湖南·期末联考]已知函数,其中实数a,,且,则( )
A.当时,没有极值点
B.当有且仅有3个零点时,
C.当时,为奇函数
D.当时,过点作曲线的切线有且只有1条
18．答案：BCD
解析：对A,当时,,
则,当时,,
当或时,,
所以分别是函数的极大值点和极小值点,选项A错误;
对B,当时,,
当,,当或时,,
即在上单调递减,在和上单调递增.
当有且仅有3个零点时,且得,
得,故B正确;
对C,当时,,
,
设,定义域为R,且,
所以为奇函数,选项C正确;
对D,,不在曲线上.
设过点的曲线切线的切点为,,
过点的曲线切线的方程为,
又点在的切线上,有,
即,设,,
当或时,,单调递减,
当时,,单调递增,
则,,
,,根据图象知与只有一个交点,选项D正确.
故选;BCD.
三、填空题
19．[2024秋·高三·广东肇庆·月考]已知为等差数列的前n项和,且,,则________.
19．答案：
解析：设,由,,
可得解得
故.
故答案为:
20．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有种不同的选法________.（用数字作答）
20．答案：480
解析：由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法；
当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的选法.
故答案为：480.
21．[2024秋·高三·重庆涪陵区·开学考试校考]设定义域为R的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为________.
21．答案：
解析：设，可知的定义域为R，
因为，即，
则，
即，则函数为偶函数，
当时，，可知函数在单调递增，
由偶函数性质可得函数在单调递减，
因为，可得，
即，可得，解得.
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
22．[2024秋·高二·辽宁朝阳·月考校考]如图,在正三楼柱中,,,则直线与直线所成角的正切值为___________.
22．答案：
解析：连接交于O点,作F点为的中点,连接OF,则与所成的角等于OF与所成的角,
在中,,,,,.
23．[2024秋·高二·河南平顶山·月考校考]如图,在三棱柱中,,,,,D为的中点,E为的中点,BD和AE相交于点P,则________.
23．答案：/
解析：在三棱柱中,连接DE,由D,E分别为,的中点,
得,且,则,
,
,而,
所以
.
故答案为:.
24．[2023秋·高二·云南大理州·月考校考]若直线l过点且与平行,则直线l的一般方程为_____________.
24．答案：
解析：因为直线的斜率是：,且直线l与平行,
直线l的斜率也为-2,故直线l的方程是：,整理得.
故答案为：.
25．已知圆与圆交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的半径最小时圆M的方程为___________.
25．答案：
解析：两圆公共弦AB所在的直线方程为，又A，B两点平分圆N的圆周，直线AB经过圆心，把点N的坐标代入直线方程可得.
又，.
圆M的半径，
当时，圆M半径最小，此时，，故所求圆M的方程为.
四、解答题
26．[2024秋·高三·吉林长春·月考校考]已知中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.
(1)若，求c；
(2)设点M是边的中点，若，求的面积.
26．答案：(1)8；
(2).
解析：（1）在中，由余弦定理，得，
整理得，而，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，两式相加得，
即，解得，即，
则，，
所以的面积.
27．[2023秋·高三·辽宁鞍山·月考]设.
(I)讨论函数的极值；
(II)当时，，求a的取值范围.
27．答案：(I)当时，有极小值，没有极大值.
(II)
解析：(I)，
若，则，在上单调递增，没有极值
若，令，，列表
所以当时，有极小值，没有极大值.
(II)方法1
设，则.
从而当，即时，，，
在单调递增，于是当时，.
当时，若，则，，
在单调递减，于是当时，.
综合得a的取值范围为
(II)方法2
由(I)当时，，得.
(II)设，则.
从而当，即时，，而，于是当时，
由可得，，即，
从而当时，.
故当时，，而，
于是当时，.
综合得a的取值范围为
28．[2023秋·高二·江苏盐城·开学考试校考]如图,四棱柱的底面ABCD是菱形,平面ABCD,,,,点P为的中点.
（1）求证:直线平面PAC;
（2）求证:;
（3）求二面角的余弦值.
28．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）设AC和BD交于点O,连接PO,如图,
由于P,O分别是,BD的中点,故,
平面PAC,平面PAC,所以直线平面PAC.
（2）在四棱柱中,底面ABCD是菱形,则,
又平面ABCD,且平面ABCD,则,
平面,平面,
平面.
平面,.
（3）连接,,
因为,O是AC中点,所以,
因为平面,平面,所以,
为二面角的平面角,
,,,
由余弦定理可知,
二面角的余弦值为.
29．[2024秋·高三·吉林长春·月考校考]新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（）.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项.
①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率.
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
29．答案：(1)0.3072；
(2)①，；②
解析：（1）设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，
所以；
（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
，.
②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为0，2，3，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，
则，
，
，
所以；
要使唯独选择方案I最好，则
解得：，故P的取值范围为.
30．已知双曲线E的两个焦点分别为，，并且E经过点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
30．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可设双曲线E的方程为（，），
则有解得
所以双曲线E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，所以可设直线l的方程为1，如图，
联立得（*），
①当，即或时，方程（*）只有一解，
所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为；
②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
则，解得，
此时，直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
x
-
0
+
选项
作出正确判断
判断不了（不选）
作出错误判断
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2