2024年天一名校高考数学经典模拟试卷十二

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷十二，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2025届·重庆·模拟考试联考]在平行四边形中,点E,F,G分别满足,,,则( )
A.B.C.D.
1．答案：A
解析：由题意,如图,
,
故选：A.
2．[2024秋·高三·山东·月考联考]已知等差数列和等比数列的前n项和分别为和,且,则( )
A.9B.10C.11D.12
2．答案：C
解析：由等差数列和等比数列的前n项和分别为和,
所以可设,,,
所以可得,故C正确.
故选:C.
3．[2024秋·高二·重庆·开学考试联考]高邮镇国寺是国家3A级旅游景区．地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖.实属龙地也，今有“运河佛城”之称.某同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为7.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为，镇国寺塔的高度约为( )
（参考数据：）
A．B．C．D．
3．答案：B
解析：，
在中，，
在中，，
，
，
由正弦定理得：，
故选：B
4．[2023秋·高二·江西宜春·月考校考]若，则曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
4．答案：A
解析：由，得，
取，得，，
则，可得，
曲线在处的切线方程为，即.
故选：A.
5．若函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数是区间I上的“H函数”.对于命题：
①函数是上的“H函数”；
②函数是上的“H函数”.
下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为真命题,②为假命题
5．答案：D
解析：对于命题①：令,函数可换元为
在上是增函数，函数y=-t2+2t在上是增函数，在上是增函数；在上是减函数，函数
是上的“H函数“，故命题①是真命题.对于命题②，函数是上的增函数，
是上的增函数，故命题②是假命题；故选D.
二、填空题
6．[2024秋·高三·云南玉溪·月考校考]如图，在中，已知,,，,边上的两条中线,相交于点P，则的余弦值为________.
6．答案：/
解析：在中，由余弦定理可得，即；
因此满足，可得是以的直角三角形；
以B为坐标原点，,分别为x轴，y轴，如下图所示;
，，，，,，
易知即为向量，的夹角，
所以.
故答案为：
7．[2024秋·高三·安徽·月考联考]五个好朋友一起自驾外出游玩,他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别）,下车时,他们从后备箱中各随机地取一个旅行包,则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为________.
7．答案：
解析：第一种情况,甲拿了乙或者丙的旅行包,有种情况;
第二种情况,甲没有拿乙和丙的旅行包,有种情况.
故所求的概率为.
故答案为:.
8．[2024秋·高三·山东枣庄·月考校考]已知,都是锐角,,,则__________.
8．答案：
解析：已知,都是锐角,,,
所以,,
所以,
从而.
故答案为：.
9．[2024秋·高二·陕西咸阳·月考校考]已知，则的最小值为______
9．答案：
解析：，
设在直线上，点，，
则，，
则，
如图，A关于直线的对称点为C，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以，
故答案为：
10．[2024秋·高二·甘肃张掖·月考联考]已知数列的首项,且满足.若对于任意的正整数n,存在M,使得恒成立,则M的最小值是________.
10．答案：3
解析：数列满足,且,即,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
以上各式相加,得
又,,
,,
若对于任意的正整数n,存在M,使得恒成立,则有,
的最小值是3.
故答案为:3.
三、解答题
11．[2024秋·高一·江西宜春·月考校考]对于平面向量,定义“变换”:,
（1）若向量,,求;
（2）求证:;
（3）已知,,且与不平行,,,求证:.
11．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为向量,
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
,所以.
（3）方法一:,
,
由（2）可得,,
又因为
,即,
可得,
且在内单调递减,,,
可知,
所以.
所以
方法二:设,,
,
因为,
,
所以
,
所以.
12．[2024届·江苏南通·二模校考]设函数,.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若,试判断函数在区间内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数a,都存在实数t,满足:对任意的,.
12．答案：(1)单调递减区间为,单调递增区间为
(2)1个，理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1)当时,,,
令,,列表分析
故的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2),,其中,
令,分析的零点情况.
,令,,列表分析
因为,
所以,即,
而,,
因此在有一个零点,在内有一个极值点;
当时,在内有一个极值点.
(3)猜想：,恒成立
证:由(2)得在上单调递增,
且,.
因为当时,,所以.
故在上存在唯一的零点,设为.
由
知,,
又,而时,,
所以.
即,.
所以对任意的正数a,存在,使对任意的,使
补充证明(*):
令,.,所以在上单调递增.
所以时,,即.
补充证明(**)
令,,,所以在上单调递减.
所以时,,即.
13．[2024秋·高三·长沙市第一中学·月考]已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左､右焦点，两点，都在C上.
（1）求C的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）若且，，求四个点A，B，，所构成的四边形的面积的取值范围.
13．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）由题意可得，解得，
故曲线C的方程为，
（2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
得，A，B都在右支上，
由，消去x可得，
易知，其中恒成立，
，，
代入，消元得，，
所以，解得，满足，
所以直线的方程为，
（3），，，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x的上方或的下方，不妨设都在x的上方，又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，
延长交双曲线与点P，延迟交双曲线于点Q，由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，由题设，直线的方程为，直线的方程为，
由第（2）问易得，
因为，所以，
两条直线与间的距离，
所以，
令，，
所以，
设，则，在上恒为减函数，
所以在上恒为增函数，
当时即，取得最小值为12，
所以当且，，则四个点A，B，，所构成的四边形的面积的取值范围为.
14．如图,已知四点均在直径为6的球B的球面上,,,,,,直线PO与平面AOC所成的角为,点D在线段PC上运动.
(1)证明：
(2)设平面BOC与平面KHD的夹角为,求的最大值.
14．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：由题意可知为球B的直径,所以,.
又因为,所以,
,所以平面,
平面,所以,
,所以平面.
(2)如图,以O为坐标原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
根据题意可得,,,
则,,
所以,,,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则,取.
设,则.
设平面的法向量为,
则取,
.
令,,,
则,
当,即,,时,取得最大值,最大值为.
15．[2024秋·高二·陕西咸阳·月考校考]某自助餐厅为了鼓励消费,设置了一个抽奖箱,箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张,每张奖券的形状都相同,每位顾客可以从中任取2张奖券,最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率;
(2)若自助餐的原价为100元/位,记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望.
15．答案：(1)
(2)答案见答案
解析：(1)从6张奖券中,任取2张奖券共有种选法,抽到的两张奖券相同的有3种选法,
所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
(2)的所有可能取值为80,85,90,
,
,
,
的分布列为：
.
x
1
—
0
+
单调递减
单调递增
x
-
0
+
单调递减
单调递增
x
-
0
+
单调递减
单调递增
X
80
85
90
P