四川省自贡市第一中学2024-2025学年高三上学期10月月数学试卷（Word版附解析）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.
【详解】因为在单调递增，且,
所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，
因此推不出,
同样推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得的解析式，可判断为奇函数，可排除AB，再由特殊值可排除C，即可得解．
【详解】∵，
，
∵，
为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB；
，故排除C，而D符合
故选：D．
4. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A. 1.12B. 1.13C. 1.14D. 1.15
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故选：D．
5. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过伸缩变换与平移变换得到，由关于原点中心对称得到，进而求出答案.
【详解】的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，将所得图象向左平移个单位后得到的函数是，由题意得：，，所以，，故.
故选：C
6. 若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合是函数的一个极大值点，得出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
因为是函数的一个极大值点，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
7. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出函数单调性，再比较这3个数的大小，然后利用单调即可.
【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，
从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
， 所以.
故选：C．
8. 若对任意的，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数有意义得出，再构造函数，根据题意得出在上单调递减，进而求出的单调递减区间，再根据即可求解.
【详解】解：对任意的，且，
易知：，
化简得：，
即，
即，
令，
则函数在上单调递减，
因，
由，可得：，
所以的单调递减区间为，
所以，
所以，
因此，实数的最小值为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若，则
D. 若，且，则的最小值为9
【答案】AD
【解析】
【分析】首先可通过也有可能是负数得出A；通过全称命题的否定是特称命题判断出B；后通过判断出C；利用基本不等式可判断出D．
【详解】解：A．若，则；若，则也有可能是负数，
故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意；
B．命题“”的否定是“”，错误，不符合题意；
C．若，，则，错误，不符合题意；
D．若，且，则，
当且仅当时，即时，取等号，故最小值为9，正确，符合题意；
故选：AD．
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 是曲线的一个对称中心
C. 是曲线的一条对称轴D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，故利用求出最小正周期；BC选项，代入，由函数值判断出是的一条对称轴；D选项，求出，数形结合得到在区间上单调递增.
【详解】A选项，，
故的最小正周期为，A正确；
B选项，当时，，
故不是曲线的一个对称中心，B错误；
C选项，当时，，故是的一条对称轴，也是的一条对称轴，C正确；
D选项，时，，由于在上单调递增，
故在区间上单调递增，D正确.
故选：ACD
11. 已知定义在R上函数满足，且是奇函数，则（ ）
A. 图象关于点对称
B.
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，得到，得到函数的对称中心；B选项，由题意条件得到，故B正确；C选项，由B选项得到的周期为4，故，赋值法得到；D选项，赋值法得到，，，结合函数的周期得到答案.
【详解】A选项，由题意知，，则，
所以图象的对称中心为，A正确．
B选项，，，
两式相减得，所以，B正确．
C选项，由B选项可得，的周期为4，又，
故，令得，，
得，所以C错误；
D选项，因为，令得，，
又，故，
中，令得，，
由，得，，
又的周期为4，
则，
所以，D正确．
故选：ABD
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值.
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于轴对称，
当时，，其图象关于对称，
因此，
故答案为：2.
13. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.
【详解】，画出函数和的图像，如图所示：
不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，
故且，解得.
故答案为：
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为_________．
（2）已知函数与一次函数有两个交点，，则_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.
（2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值.
【详解】（1）设点为函数图象对称中心，
令，则为奇函数，
所以，即，
可得，，
所以，解得，
所以函数的对称中心为.
故答案为：
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即，
所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为，
因为，
，
所以，
即对称中心为，
因为函数的图像是恒过点的直线，
所以交点，的中点为，
所以，，即.
故答案为：
【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于.
四､解答题：本题共5小题，共77分（其中15题13分，16题和17各15分，18题和19题各17分）.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求的单调区间和极小值．
【答案】（1）
（2）的增区间为，，减区间为；的极小值为
【解析】
【分析】（1）由切点为1,f1，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值．
【小问1详解】
因为，定义域为0,+∞，
所以，，
则，又，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即，
令得，令得，
故所求三角形的面积为．
【小问2详解】
因为，，
令得或，
令得或，令得，
又函数的定义域为0,+∞，
所以的增区间为，，减区间为，
所以的极小值为．
16. 已知数．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，，
（2）的最小值，最大值.
【解析】
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程，
（2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值．
【小问1详解】
，
所以函数的最小正周期为．
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，，
【小问2详解】
当时，，则，进而可得，
当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值.
17. 已知函数，
（1）求函数的零点；
（2） 若函数有四个零点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值．
【答案】（1）1，或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点；
（2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围；
（3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和．
【小问1详解】
函数，
当时，由，解得，
当时，由，解得或，
可得函数的零点为1，或；
【小问2详解】
若函数有四个零点，
即为有四个不等实根，画出函数的图象，
由图象可得当时，的图象和直线有四个交点，
故函数有四个零点时的取值范围是；
【小问3详解】
由的对称轴为，可得，
由，即，即为，则，
故．
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）设，．
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）求的值．
【答案】（1）
（2）(i)；(ii)
【解析】
【分析】（1） 由已知结合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B；
（2） (i) 由余弦定理结合上问求边长即可.
(ii) 利用余弦定理结合同角平方关系可求的正弦和余弦值，然后结合二倍角公式及两角和的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理，可化为
【小问2详解】
（i）由余弦定理得，由
得解得
（ii）由余弦定理得，，
19. 已知函数.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若在上有两个极值点.
①求实数的取值范围：
②求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，求导，根据含参二次函数的性质，进行分类讨论，可得答案；
（2）①根据极值点与导数零点的关系，结合二次函数的性质，求参数的取值范围；
②为方程的两个根，由韦达定理计算，可知需证，再构造函数证明即可．
【小问1详解】
.
若，二次函数在上单调递增，则，
所以，所以在区间上单调递增.
若，记，则，
所以在区间上有唯一零点，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
①.因为在有两个极值点，
所以在有两个不等零点，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
②. 由①知，.
方法一，
所以
同理.
所以
设，
所以，
所以函数在区间上单调递减，
所以，所以.
（方法二）
下同解法一.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思