浙江省金华市义乌市2024届高三下学期适应性考试(三模)数学试卷(解析版)

这是一份浙江省金华市义乌市2024届高三下学期适应性考试(三模)数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

选择题部分
一、选择题
1. 样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（ ）
A. 33B. 35C. 46D. 51
【答案】D
【解析】将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，55，
，故第80百分位数为第八个数51，
故选：D
2. 已知是等比数列，若，，则的值为（ ）
A. 9B. C. D. 81
【答案】A
【解析】由题得，而，则，
故选：A.
3. 在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
【答案】C
【解析】由余弦定理得,
即，即，解得或（舍）.
故选：C.
4. 某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】数学测试成绩服从正态分布，
则，，
由于等级的概率之和为，
所以，
而即
故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级，
故99分为B等级．
故选：B．
5. 在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（ ）
A. 36B. 48C. 60D. 72
【答案】C
【解析】首先按照小生和老生不相邻的要求共有种排法，
其中老旦排在最右边情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有，
由此所成的3个空中将小生、老生插入有，
所以排法有种，
所以满足题意的不同排法总数是.
故选：C.
6. 若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】，
当时，，则，
此时在上单调递减，
当时，，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
画出函数和的图象如下：
令得，，故，
令，则，且，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，由3个解，
综上，方程的实数根的个数为5.
故选：D
7. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
8. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：

设，又，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
所以，直线，即，则点，
直线，化为一般形式得，
因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
于是，化简得，
即，
又点在椭圆上，所以，得，
因此，，即，
解得或，点在第一象限，所以，，
则点，所以.故选：C.
二、选择题
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，所以，故A正确；
所以，所以，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
10. 已知在上是单调函数，且的图象关于点对称，则（ ）
A. 若，则
B. 的图象的一条对称轴方程为
C. 函数在上无零点
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数
【答案】ABC
【解析】，
当，可得，又在上单调，
所以，解得，
又的图象关于点对称，所以，解得，
当时，，符合题意，所以，
对于A：若，则可得分别为函数的极大值与极小值，
可得，故A正确；
，所以的图象的一条对称轴方程为，故B正确；
因为，所以，所以函数在上无零点，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的函数不为偶函数，故D不正确.
故选：ABC.
11. 已知正实数，满足，则下列不等式可能成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由可得，
记，
由于函数均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，
记，则，
令，得，故在单调递增，
令，得，故在单调递减，
而，，故存在使得，
故当，，即
当时，
当时，，
故作出的大致图象如下：（黑色为图象，红色为图象）
由图可知：当时，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题
12. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．
【答案】54
【解析】令x＝1，有4n＝256，
解得n＝4，所以展开式通项为：，
令4﹣2k＝0得，k＝2．
故常数项为：．
故答案为：54．
13. 若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】对于双曲线，其渐近线方程为，
对于圆，有，
圆心为，半径，
渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，
由点到直线距离公式得：，所以，
所以，解得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为______，比较两种方案，沙坑面积最大值为______.
【答案】（其中，），或，
【解析】连接，由，，，，得，
在中，，由，得，
显然在上单调递减，
所以满足的关系式为（，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，解得，当且仅当，
即，时取等号，
所以；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，，
则，解得，当且仅当时取等号，
，
而，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
故答案为：（，），或，；
四、解答题
15. 已知函数在处的切线的方向向量为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
解：（1）在处的切线的方向向量为，所以在处的切线斜率，
又，则，解得.
（2）函数的定义域为，
，
令，解得或（舍去）.
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
在处取得极大值，即，无极小值.
于是在上单调递增，在上单调递减，
极大值为，无极小值.
16. 已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.
（1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；
（2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
解：（1）设“每次从甲盒中取出红球”，“这3次中取出2次红球”.
则，.
（2）所有可能的取值为0，1，2，3
，，
，
.
17. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，，是正三角形，是的重心，点满足.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，连接，交点为，则是的中点.因为是的重心，所以.又是的中点，所以.
由知在线段上，且，所以，
而平面，平面，所以平面.
（2）解：方法1：设，则.取中点，连接，则，，平面,
故平面，又平面，所以平面平面，交线.
由，，则,
得.所以到平面的距离等于到直线的距离.
设到平面的距离为，由平面知到平面的距离也是.
由得，，，从而.
在中，，，，
由余弦定理得，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
方法2：如图，以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，，，
所以,,,
设平面的法向量是，
由.
令，则，.
所以，，
从而直线与平面所成角的正弦值是.
18. 已知四点在抛物线上，直线经过点，直线经过点，直线与直线相交，交点在轴上.
（1）求证：点是线段的中点；
（2）记的面积为，的面积为，求的最小值.
（1）证明：设，，，直线的方程为，直线的方程为.
由得，所以；
由得，所以.
所以，即点的纵坐标是点、点的纵坐标的等差中项，故是的中点.
（2）解：设，因为直线与直线相交，交点在轴上，
所以，从而，.
直线的方程是，所以，即.
因为是的中点，所以，.
法一：记，考察函数，.
因，所以在上是减函数，在上是增函数，故的最小值是，即的最小值是.
法二：，
时取到等号，即的最小值是.
19. 若函数满足以下三个条件，则称为函数.①定义域为；②对任意，；③对任意正整数，，当时，有.若给定函数某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的如果有种，分别为，，，.
那么我们记等于，，，的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.
（1）若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求和的值；
（2）若为函数，且满足，求数列的前10项和；
（3）若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求数列的前项和.
解：（1）因为，
所以，所以.
但是若，则，又，这出现矛盾，
所以不成立，即，
此时，，所以或者.
若令，显然它是满足函数的3个条件的，不会出现矛盾.
所以.
（2）由，则，若，则，，出现矛盾.
所以.同理求得，我们猜想
下面证明它.当，2，3时，的公式显然成立.
假设当时，的公式成立.
则当时，
，
，
，
，
显然，只能是.
所以得证.
可知，该公式给定的数列也满足函数的3个条件.
于是，
所以数列的前10项和为.
（3）因为，，所以，，
因为，不妨取，则且，
所以，即.
我们猜想，
下面证明它.
当，2，3，4时，的公式显然成立.
假设当，2，3，4，，，时，的公式成立，则当时
即只需即可，所以.
又当时
即只有，所以，
所以得证.
可知，该公式给定的数列也满足函数的3个条件.
于是当为偶数时，
；
当为奇数时，；
所以数列的前项和为
0
1
2
3