江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）．
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
4．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
6．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ）
A．B．C．D．
7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
【答案】C
【详解】分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.
8．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为4，OP=8，则线段OM的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】试题分析：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×4=2，∴点M在以N为圆心，4为半径的圆上，在△OMN中，2＜OM＜6，当点M在ON上时，OM最小，最小值为2，∴线段OM的最小值为2．故选A．
考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 把答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上.
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
10．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的方程ax2+bx+c=0的解是 ．
11．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方的结果是 ．
12．设A(－1，y1)、B(，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝-(x-2)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
13．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．
14．如图，的直径cm，AB是的弦，，垂足为M，，则 ．
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【分析】根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；利用，可判断③；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出④的正误．
【详解】解：①函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①正确；
②图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故②错误；
③二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，
最小值：，
，
；③正确；
④图象与轴的交点在和之间，
∵，
∴，
，
；故④错误；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16．已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数顶点的坐标为，且，可得函数的对称轴为直线，根据二次函数的对称性可得函数与轴另外一个交点的坐标为，设抛物线的表达式为，可得，把代入即可求解．
【详解】解：∵二次函数顶点的坐标为，且，
函数的对称轴为直线，
∵二次函数的图象与轴的交点的坐标为，
根据二次函数的对称性可得，函数与轴另外一个交点的坐标为，
则设抛物线的表达式为，
即，解得，
当时，，
故答案为：．
三、解答题：本大题共11小题，共82分. 把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明. 作图时用。
17．解方程：（1）；（2） (x－5)(x＋1)＝2x－10
18．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）试说明无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为4，求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣1)x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
20．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【答案】两位数为92或29
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为，
，
解得：，
当时，两位数为92，
当时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
21．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2）它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在上），其中；已知的半径为2.5cm，，，，则香水瓶的高度为多少？
【答案】5.7
【分析】作于，延长交于，连接、．根据垂径定理求出、，解直角三角形求出，，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，延长交于，连接、．
，
，
，，
；，
．
即香水瓶的高度为，
22．规定：某一个函数图像上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．
(1)若抛物线（为常数）上有且只有一个“反点”，求的值；
(2)若抛物线（、为常数，）对于任意的常数恒有两个“反点”，求a的取值范围．
【答案】(1)a的值为或4；(2)
【分析】（1）根据定义，可得与只有1个交点，根据判别式即可求解；
（2）根据定义联立二次函数解析式与，令，得到关于的代数式，根据代数式恒大于0，令，即可求得的取值范围．
【详解】
（1）解：依题意，
即有两个相等的实数解，
∴，
解得：或；
（2）关于的二次函数（，为常数）对于任意的常数恒有两个“反点”，
，
即有两个不等实数根，
，
即，
关于的二次函数与轴无交点，
，
解得:．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
23．尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．
【答案】（1）如图所示见解析；（2）圆片的半径R为cm．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，
∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm，
∴R2=82+（R-6）2，
解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)结合函数图像，当时，直接写出y的取值范围______．
(2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据抛物线解析式即可知该抛物线开口向上，对称轴为，y随x的增大而增大，从而得出此时y的最小值为．再根据图像得出，即得出结果；
（2）过点M作轴于点N，交直线于点D．由抛物线解析式可求出
，，．从而可求出，直线的解析式为．设，则．根据，即可用含t的式子表示出，再由，即可用含t的式子表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）；
（2）如图，过点M作轴于点N，交直线于点D．
对于，令，则，
解得：，
∴，．
令，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键．
25．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
(1)当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为9平方米，求DF的长；
(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】(1)①（12﹣3x）米；②3米
(2)饲养场的宽DF为米时，饲养场DBEF的面积最大，最大面积为平方米
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场DBEF的面积为S，求出关于DF的长的关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：①设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴EF＝11﹣2x﹣（x﹣1）＝12﹣3x，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即12﹣3x≤3，
∴x≥3；
②设DF的长为x米，根据题意得：
x（12﹣3x）＝9，
解得：x1＝3，x2＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
∴x＝3，
答：饲养场的长DF为3米；
（2）解：设饲养场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥3，
则S＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，
∵﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝2，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴x＝3时，S有最大值，S最大值＝﹣3×12+12＝9；
②点D在线段BA的延长线上，此时x＜3，
则，
∵，，
∴时，S有最大值，S最大值＝，
∴时，S最大值＝（平方米）；
∵＞9，
∴饲养场的宽DF为米时，饲养场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．
答：饲养场的宽DF为米时，饲养场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．
【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
26．项目式学习
【答案】任务1：；任务2：，；任务3：最多挂8条灯带，最右边一条灯带的横坐标为．
【分析】任务1：以抛物线的定点为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于，计算悬挂点的纵坐标的最小值是；
任务3：画出数轴，利用数形结合解答.．
【详解】解：【任务1】以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点B，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
∴，
∴抛物线的函数表达式为：；
【任务2】
∵普通货车的高度大约为，灯带底部距离货车顶部不小于，灯带长，
∴当安装点的纵坐标，即安装点的纵坐标的最小值是，
当时，，
∴，
∴安装点的横坐标的取值范围是：；
【任务3】
如图2，
∵若顶点一侧悬挂5条灯带时，，
若顶点一侧悬挂4条灯带时，，
∴顶点一侧最多悬挂4条灯带，
∵灯带挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8条灯带，
∴最右边一条灯带的横坐标为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和，与y轴交于点C.
(1) 求二次函数表达式；
(2) 过点C作x轴的平行线交抛物线与点D.
①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，切，求点E的坐标;
②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴交于点E，若，求点P的坐标.
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1
2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽为，高OC为．
素材2
货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）;普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定隧道形状
在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究安装范围
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标．