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湖北省部分高中2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份湖北省部分高中2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析），文件包含2025届湖北省部分高中高三上学期11月期中联考数学试题Word版含解析docx、2025届湖北省部分高中高三上学期11月期中联考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，与复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.
【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.
【点睛】本题考查通过复数除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式求解．
【详解】，
故选：B．
3. 已知，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直可得数量积为0，再根据数量积运算律化简得，由夹角公式得解.
【详解】因为，且，
所以，
解得，
所以，而,
所以
故选：B
4. 已知曲线在点处切线在轴上的截距为，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算切线方程即可.
【详解】易知，时，
所以曲线在点处的切线方程为：，显然有，
即.
故选：C
5. 暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）
A. 40B. 90C. 80D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区.
【详解】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区，所有游览方案种数为：，
故选：C
6. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期性求得，根据图象平行结合偶函数性质可得，即可得结果.
【详解】因为，
若函数的最小正周期为，且，
则，解得，可得，
将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，
可得，解得，
可知当时，正实数取得最小值.
故选：B.
7. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，在下落过程中除去第一次，剩下四次始终保证向左一次，向右三次才能最终落到4号位置.由二项分布的概念计算概率即可.
【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
若第一次向左下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：，
若第一次向右下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：，
故经过5层钉板最终落到4号位置的概率是.
故选：A
8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由列方程，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】，，
，
显然不满足上式，所以，
令，则，
在上单调递增，
在区间2,3上单调递减，
且，
画出的图像，可知：.
故选：D
【点睛】易错点睛：
导数符号分析的准确性：在求解f′x的符号变化时，容易因导数计算错误导致对单调性的判断错误.因此，确保导数的符号变化准确是关键.
图像绘制中的误差：在通过函数图像判断解的个数时，容易因为图像绘制不够精确或未充分考虑极值点位置，导致解的个数判断错误.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 已知，若，则；
B. 某学生次考试的数学成绩分别为：，则这次数学成绩的第百分位数为；
C. 已知的平均值为，则的平均值为；
D. 已知为两个随机事件，若，则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正态分布的性质求得的值判断选项A；利用百分位数定义求得第百分位数判断选项B；
利用平均数定义求得的平均值判断选项C；利用条件概率公式求得的值判断选项D.
【详解】选项A: ，若，则
故，A正确；
选项B：由，可得这次数学成绩的第百分位数为第与第个
数据的平均数，B错误；
选项C: 的平均值为，则，
则，故的平均值为，C正确；
选项D: 若，
则，则，
则，D正确.
故选：ACD
10. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是3D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A项，直接应用均值不等式求出的最大值即可求解；对于B项：应用，对直接应用均值不等式即可求解；对于C项：构造展开再应用均值不等式即可求解；对于D项：将消去再应用均值不等式求解即可.
【详解】解：对于A项：因为，所以，
则（当且仅当时取等号），故A错误；
对于B项：因为（当且仅当时取等号），故B正确；
对于C项：因为，所以，
因为，
所以（当且仅当时取等号），故C正确；
对于D项：（当且仅当时取等号），故D正确.
故选：BCD.
11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，令，代入运算求解即可.
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：.
13. 已知的角的对边分别为，且，若，则__.
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角形面积公式结合余弦定理得到之间的关系，进而求得的值.
【详解】中，由，可得
又，则，
由余弦定理，可得
整理得，故
14. 已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有零点转化为，构造函数，求导数，利用单调性得出值域即可.
【详解】
，
令，
当时，，当时，
在上单调递减，在2,3上单调递增，
，，
则，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，若，求和长.
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
（2）根据题意，先求出角，再结合三角形面积公式和余弦定理即可得解.
【小问1详解】
由
∴fx减区间为；
【小问2详解】
，
所以又，
根据余弦定理
，或.
16. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合等差、等比数列的基本公式即可求出的通项公式，运用构造法求的通项公式.
（2）先确定，利用错位相减法即可求出.
【小问1详解】
设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因，所以，
又，，
所以为首项为，公比为的等比数列，
所以，
【小问2详解】
因为，
①，
②
两式相减，得：
，
所以.
17. 东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调查300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调查的学生是男生”.若.
（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？
（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性别分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.
附：
【答案】（1）列联表见解析，学生喜欢去哪个食堂与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率求相应人数，完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）求男、女生人数，可知，结合超几何分布求分布列和期望.
【小问1详解】
因为，即被调查的学生中男生有140人，女生有160人，
且，即男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人，
又因为，则，，即被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.
零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大0.001.
【小问2详解】
根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人，
且，则有：
，
，
所以X的分布列为：
.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
（2）先求得，然后利用构造函数法，结合导数求得实数的取值范围.
（3）根据（2）的结论，利用赋值法来证得不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为,，
.当时，恒成立，在单调递增；
.当时，有两根，但两根均为负数，
当时，单调递增，
.当时，有两正根和，
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时在单调递增；
综上所述：
当时，增区间为；
当时，增区间为和；
减区间为.
【小问2详解】
，令，
则在上单调递增，，
若，则在上单调递增，
，与题意相符；
若，则，所以必存在，使得当时，单调递减，
从而使得当时，，与题意相矛盾；
综上：.
【小问3详解】
由（2）知，当时，（仅当时取等号），
，令，则有：；
，得证.
【点睛】方法点睛：导数与单调性分析法：通过求导数 ，分析函数的单调性和增减区间，是判断函数行为的基础方法.利用导数符号分析，可以清晰地得到函数的单调性区间.构造函数法求取值范围：利用构造函数的方法来确定参数的取值范围，是一种行之有效的方法.在分析单调性时，结合导数来得出明确的区间结论.
19. 马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.
（1）求的值；
（2）求；
（3）证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；
（2）由条件概率的计算公式得及，结合求解即可；
（3），所以，所以，令，则，，计算即可证明.
【小问1详解】
，所以；
【小问2详解】
，
又，
，
所以
，
，
.
【小问3详解】
证明：
，
所以，
令，则，
，
而，
.
，
，
所以.得证.
【点睛】由独立事件的乘法公式与条件概率的计算公式结合求解离散型随机变量的分布列数学期望：
，所以，所以，令，则，，计算即可证明.
调查的是男生
调查的是女生
合计
喜欢去甲食堂
喜欢去乙食堂
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
调查的是男生
调查是女生
合计
喜欢去甲食堂
60
100
160
喜欢去乙食堂
80
60
140
合计
140
160
300
X
0
1
2
3
P
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，与复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.
【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.
【点睛】本题考查通过复数除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式求解．
【详解】，
故选：B．
3. 已知，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直可得数量积为0，再根据数量积运算律化简得，由夹角公式得解.
【详解】因为，且，
所以，
解得，
所以，而,
所以
故选：B
4. 已知曲线在点处切线在轴上的截距为，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算切线方程即可.
【详解】易知，时，
所以曲线在点处的切线方程为：，显然有，
即.
故选：C
5. 暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）
A. 40B. 90C. 80D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区.
【详解】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区，所有游览方案种数为：，
故选：C
6. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期性求得，根据图象平行结合偶函数性质可得，即可得结果.
【详解】因为，
若函数的最小正周期为，且，
则，解得，可得，
将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，
可得，解得，
可知当时，正实数取得最小值.
故选：B.
7. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，在下落过程中除去第一次，剩下四次始终保证向左一次，向右三次才能最终落到4号位置.由二项分布的概念计算概率即可.
【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
若第一次向左下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：，
若第一次向右下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：，
故经过5层钉板最终落到4号位置的概率是.
故选：A
8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由列方程，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】，，
，
显然不满足上式，所以，
令，则，
在上单调递增，
在区间2,3上单调递减，
且，
画出的图像，可知：.
故选：D
【点睛】易错点睛：
导数符号分析的准确性：在求解f′x的符号变化时，容易因导数计算错误导致对单调性的判断错误.因此，确保导数的符号变化准确是关键.
图像绘制中的误差：在通过函数图像判断解的个数时，容易因为图像绘制不够精确或未充分考虑极值点位置，导致解的个数判断错误.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 已知，若，则；
B. 某学生次考试的数学成绩分别为：，则这次数学成绩的第百分位数为；
C. 已知的平均值为，则的平均值为；
D. 已知为两个随机事件，若，则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正态分布的性质求得的值判断选项A；利用百分位数定义求得第百分位数判断选项B；
利用平均数定义求得的平均值判断选项C；利用条件概率公式求得的值判断选项D.
【详解】选项A: ，若，则
故，A正确；
选项B：由，可得这次数学成绩的第百分位数为第与第个
数据的平均数，B错误；
选项C: 的平均值为，则，
则，故的平均值为，C正确；
选项D: 若，
则，则，
则，D正确.
故选：ACD
10. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是3D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A项，直接应用均值不等式求出的最大值即可求解；对于B项：应用，对直接应用均值不等式即可求解；对于C项：构造展开再应用均值不等式即可求解；对于D项：将消去再应用均值不等式求解即可.
【详解】解：对于A项：因为，所以，
则（当且仅当时取等号），故A错误；
对于B项：因为（当且仅当时取等号），故B正确；
对于C项：因为，所以，
因为，
所以（当且仅当时取等号），故C正确；
对于D项：（当且仅当时取等号），故D正确.
故选：BCD.
11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，令，代入运算求解即可.
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：.
13. 已知的角的对边分别为，且，若，则__.
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角形面积公式结合余弦定理得到之间的关系，进而求得的值.
【详解】中，由，可得
又，则，
由余弦定理，可得
整理得，故
14. 已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有零点转化为，构造函数，求导数，利用单调性得出值域即可.
【详解】
，
令，
当时，，当时，
在上单调递减，在2,3上单调递增，
，，
则，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，若，求和长.
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
（2）根据题意，先求出角，再结合三角形面积公式和余弦定理即可得解.
【小问1详解】
由
∴fx减区间为；
【小问2详解】
，
所以又，
根据余弦定理
，或.
16. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合等差、等比数列的基本公式即可求出的通项公式，运用构造法求的通项公式.
（2）先确定，利用错位相减法即可求出.
【小问1详解】
设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因，所以，
又，，
所以为首项为，公比为的等比数列，
所以，
【小问2详解】
因为，
①，
②
两式相减，得：
，
所以.
17. 东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调查300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调查的学生是男生”.若.
（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？
（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性别分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.
附：
【答案】（1）列联表见解析，学生喜欢去哪个食堂与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率求相应人数，完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）求男、女生人数，可知，结合超几何分布求分布列和期望.
【小问1详解】
因为，即被调查的学生中男生有140人，女生有160人，
且，即男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人，
又因为，则，，即被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.
零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大0.001.
【小问2详解】
根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人，
且，则有：
，
，
所以X的分布列为：
.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
（2）先求得，然后利用构造函数法，结合导数求得实数的取值范围.
（3）根据（2）的结论，利用赋值法来证得不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为,，
.当时，恒成立，在单调递增；
.当时，有两根，但两根均为负数，
当时，单调递增，
.当时，有两正根和，
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时在单调递增；
综上所述：
当时，增区间为；
当时，增区间为和；
减区间为.
【小问2详解】
，令，
则在上单调递增，，
若，则在上单调递增，
，与题意相符；
若，则，所以必存在，使得当时，单调递减，
从而使得当时，，与题意相矛盾；
综上：.
【小问3详解】
由（2）知，当时，（仅当时取等号），
，令，则有：；
，得证.
【点睛】方法点睛：导数与单调性分析法：通过求导数 ，分析函数的单调性和增减区间，是判断函数行为的基础方法.利用导数符号分析，可以清晰地得到函数的单调性区间.构造函数法求取值范围：利用构造函数的方法来确定参数的取值范围，是一种行之有效的方法.在分析单调性时，结合导数来得出明确的区间结论.
19. 马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.
（1）求的值；
（2）求；
（3）证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；
（2）由条件概率的计算公式得及，结合求解即可；
（3），所以，所以，令，则，，计算即可证明.
【小问1详解】
，所以；
【小问2详解】
，
又，
，
所以
，
，
.
【小问3详解】
证明：
，
所以，
令，则，
，
而，
.
，
，
所以.得证.
【点睛】由独立事件的乘法公式与条件概率的计算公式结合求解离散型随机变量的分布列数学期望：
，所以，所以，令，则，，计算即可证明.
调查的是男生
调查的是女生
合计
喜欢去甲食堂
喜欢去乙食堂
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
调查的是男生
调查是女生
合计
喜欢去甲食堂
60
100
160
喜欢去乙食堂
80
60
140
合计
140
160
300
X
0
1
2
3
P
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