湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性考试数学试卷（Word版附解析）

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（命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A B. C. D.
3. 设，不等式的解集为或，则（ ）．
A B. C. D.
4. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ）
A. B. C. D. 3，1
7. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 最小值为D. 的最大值为
10. 说法正确的是（ ）
A. 已知，则的定义域为
B. 若幂函数在区间上是减函数，则
C. 函数的值域为
D. 已知函数满足，则
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是______．
13. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________.
14. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16. 计算下列各式值：
（1）；
（2）若，求的值；
（3）已知实数，满足，求的值．
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
18. 已知函数为奇函数.
（1）利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
（2）若正数满足，求的最小值；
（3）解不等式.
19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
（ⅰ）证明：函数图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．