数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念精品综合训练题

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念精品综合训练题，文件包含人教版高中数学必修一精讲精练11集合的概念及特征精练原卷版docx、人教版高中数学必修一精讲精练11集合的概念及特征精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1．（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】是自然数，故，（1）正确；
是无理数，故，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程的解为，可以构成集合，（5）正确；
故选：A
2．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【解析】表示实数集 ，则①正确
表示有理数集 ，则②正确
表示自然数集 ，则③正确
是集合的一个元素 ，则④正确
本题正确选项：
3（2023·四川绵阳）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：
由，则，可得；
由，且，可得，且；
由，且，可得，且；
由，且，可得；
综上所述：.
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合
D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}
【答案】D
【解析】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；
对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.
故选：D.
5．（2023·安徽）若关于的方程的解集为单元素集合，则（ ）
A．B．
C．或D．且
【答案】C
【解析】时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件；
时，原方程为一元二次方程，当判别式时，方程有一个解，此时，
，解得
所以当原方程的解集为单元素集合时，或，选项C正确.
故选：C.
6．（2023春·河北）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合中最小的数是1；
②若，则；
③若，则的最小值是2；
④的解集是.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当时，，但，故②错误；
若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C
7．（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
8．（2023·云南）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．-1B．-3C．-3或-1D．无解
【答案】B
【解析】若，可得当时，解得，此时，
不满足集合的互异性，故（舍去），
当，解得（舍去）或，此时，
满足题意，故实数的值为-3.故选：B
9（2023·山西）已知其，则由的值构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
当，即时，，集合中有相同元素，舍去；
当，即（舍）或时，，符合，
故由的值构成的集合是.
故选：D
10．（2023·陕西）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
【答案】D
【解析】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：.
11．（2023春·河南焦作）已知集合，且，则取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，且，所以或.
当时，解得：或.而，不符合元素的互异性，故或.故选：B
12．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得.
故选：C
13．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，所以方程组的解集可以表示为，故选：C
14．（2023春·江苏泰州）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．
【答案】C
【解析】根据条件分别令，解得，
又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故选：C．
15．（2023·河南周口）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
【答案】ABC
【解析】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；
对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，
所以B不正确；
对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；
对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
故选：ABC.
16．（2023·高一单元测试）（多选）设集合，且，则x的值可以为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】BC
【解析】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；
若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.
17．（2023·高一课时练习）下列语句中：
（1）和表示同一集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解组成的集合是；
（4）区间是有限集，
其中正确的是__________.（填入所有正确的语句序号）
【答案】（2）（3）
【解析】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合；
对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或；
对于（3），方程的所有解组成的集合是；
对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集，
故答案为：（2）（3）
18．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是________________
①与集合相等
②方程的所有实数根组成的集合可记为
③全体偶数组成的集合为
④集合表示一条过原点的直线
【答案】④
【解析】解方程化简集合，可判断①错；讨论的取值，可判断②错；用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确.
①由得或，因此与集合不相等；即①错；
②当时，方程的解为，方程的所有实数根组成的集合为，不能表示为；即②错；
③全体偶数组成的集合为；即③错；
④集合表示直线上的所有点，即集合表示一条过原点的直线；即④正确.
故答案为：④.
19．（2023·高一单元测试）已知集合，则集合中元素的个数是______.
【答案】5
【解析】当或或时，
当，或时，或 ，
当，或时，或 ，
当，或时，或 ，
综上所述：，共个元素
故答案为：
20．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______.
【答案】2或4
【解析】若，则，符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，不符合题意.
故答案为:2或4.
21．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．故答案为：
22．（2023·山东）设集合，，已知且，则的取值集合为________.
【答案】
【解析】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
【答案】3
【解析】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：3
24．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【解析】由题意知：中元素，即为的解，
∴或，可知：或
∴当时，；当时，，
∴或，故答案为：或
25．（2023·西藏）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.
【答案】
【解析】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时，
故只需或，若，则集合不满足互异性，故舍去.
则只能为.则.故答案为：.
26．（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：
（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；
（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.
【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
【解析】（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；
当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；
当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.
由于元素个数有限，故用列举法表示为
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：
，解得，
因此该方程的解集为{（﹣，2）}.
（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，
故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
1．（2023春·河南·高一校联考开学考试）（多选）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD
2．（2023·河北）（多选）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【解析】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
3（2023·江西）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
4．（2023·辽宁锦州）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
【答案】ABD
【解析】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
5．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【解析】（1）若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述：.
（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
6．（2023·黑龙江）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【解析】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
7．（2023·河南）已知集合满足以下条件：①；②若，则.
(1)求证：集合至少有3个元素；
(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【解析】（1）证明：由，得，
则，
则，
周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素.
（2）当时，无意义，故；
令，解得，
即当时，，
故.
故属于集合的两个元素是.
8．（2023·高一课时练习）已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则
（1）判断是否正确，说明理由
（2）证明：若则
（3）证明：若则
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）正确.
证明如下：由①知
由②可得
由③得
（2）证明：由①知
由题知， 由②可得
又，即
（3）证明：，由②可得，再由③可得
即，
即，
即当
由（2）可知，当
当，可得
9．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
【答案】(1)3；
(2)；
(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）
【解析】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
（2）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
（3）令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
10．（2023·辽宁）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【答案】(1)，，2.
(2)不是；当时，A中的元素是3，，，．
(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
【解析】（1）由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
11．（2023·北京）已知实数集，定义．
(1)若，求；
(2)若，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
【答案】(1)
(2)或者.
(3)13
【解析】（1）;
（2）首先，；
其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记，不妨设或者--
①当时，，
相乘可知，从而，
从而，所以；
②当时，与上面类似的方法可以得到
进而，从而
所以或者.
（3）估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数.
先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
不妨设，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素.
不妨设
其中为正整数，．
于是有
以上是中的个非正数元素：另外，注意到
它们是中的5个正数．这表明
综上可知，总有-
另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13.
12．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．
【解析】（1），．
，．
，．
中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：
，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），
且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，
所以，．