高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算精品当堂达标检测题

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A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
根据交集的运算可知，.故选：A
2．（2023·北京）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据并集的运算可知，.故选：A.
3．（2023·陕西）设全集，，则）等于（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意，则，故，
故选：C
4．（2023·宁夏石嘴山）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，而阴影部分为.故选：C
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔）设全集，集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为全集，，
所以，又因为，所以故选：D．
6．（2023·陕西宝鸡）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,,,，故B正确；
，,,故AD正确；故选：C
7．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】集合，，
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：C.
8．（2023·辽宁锦州）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】所求中的元素需满足或解得
或，所以共有两个元素满足.故选：C.
9．（2023春·北京通州）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，集合，
所以，故AC均错误；，故B正确，D错误．故选：B．
10．（2023·河北衡水）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，全集，
故．故选：C
11．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
12．（2023春·安徽阜阳）若全集，，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为全集，，，
因为，，，，
，， 则集合 ，
故A、B、C错误，D正确.故选：D．
13．（2023春·山西太原）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由韦恩图可知，，
因为，，
则，，因此，.
故选：D.
14．（2023西藏）（多选）已知集合，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为集合，
集合，
所以，，，
故选：ABD.
15．（2023·云南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.
16．（2023秋·贵州遵义）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【解析】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；若a≠0，则＝.此时＝3或＝5，
∴a＝或a＝.综上a的值为0或或.故选：ABC
17．（2023·江苏）已知.若，则实数m的取值范围为________.
【答案】或.
【解析】已知集合，且，或
当时，，解得，符合题意；
当时，且，
则或，解得，综上：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
18．（2022秋·河北保定）已知集合，，，则实数______．
【答案】
【解析】，.，，即.
当时，得，分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去；
当，得或，
将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去；
将分别代入集合与集合中得：，，符合题意.
综上所述：.故答案为：.
19．（2023春·河北）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有________人．
【答案】8
【解析】设全集为，集合表示喜欢打篮球的学生，集合表示喜欢打羽毛球的学生，
如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人．
故答案为：8

20．（2023·云南）设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2).
【解析】（1）当时，，；
（2），
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
21（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，集合．
(1)若时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；或
(2)或
【解析】1）因为，当时，，
又因为，所以．
因为或，
所以或；
（2）时，
当时，，解得，
当时，或，解得或，
综上，实数的取值范围是或.
22．（2023·湖南常德）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若 ，求实数的取值范围．
请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．
【答案】(1) ;
(2)答案见解析.
【解析】（1）∵当时，集合，
∴．
（2）选择①若，∴，
∴当时，，解得；
当时，，解得，满足题意；
综上所述：实数的取值范围是．
选择②若，∵或，
∴时，，解得；
当时，，解得满足题意；
综上所述：实数的取值范围是．
23．（2022·河南·）已知全集，集合．
(1)若且，求实数的值；
(2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）由题意，，所以，
若，则或，解得或，
又，所以；
（2）因为，
当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意；
当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意，
综上所述，
24．（2023·全国·高一专题练习）设全集 ，，．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）当时，，，
所以或，；
（2）全集 ，，
或，
，
分，两种情况讨论.
（1）当时，如图可得，或，
或；
（2）当时，应有：，解得；
综上可知，或，
故得实数 的取值范围.
25．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
【解析】（1）解：当时，，或，
所以，，因此，.
（2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选②，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选③，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，.
26．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知集合，．
(1)当时，求集合；
(2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)选①，；选②，
【解析】（1）当时，求集合，
.
（2）若选择条件①，，
当时，，解得，
当时，
由可得或，
解得或，
综上的取值范围是.
若选择条件②，则集合是集合的子集，
当时，，解得，
当时，有，
解得，
综上的取值范围是.
27．（2023·江苏）设全集为R，集合，.
(1)若，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，∴.
又，∴，∴.
（2）选择①，作为已知条件.
∵，∴，
又由得：
当时，，解得；
当时，或，
∴或，∴或.
综上，可得a的取值范围为.
选择②，作为已知条件，∵，∴，
又由得：
当时，，解得；
当时，或，
∴或，∴或.
综上，可得a的取值范围为.
选择③，作为已知条件，∵，∴，
又由得：
当时，，解得；
当时，或，
∴或，∴或.
综上，可得a的取值范围为.
28．（2022秋·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）已知，
(1)写出集合A的所有真子集；
(2)设全集，求：，；
(3)若，求集合.
【答案】(1)
(2)；
(3)
【解析】（1）集合的所有真子集为：
（2），，
则，又，
则，
（3）由，
可得
1．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）（多选）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：
2．（2023·浙江）（多选）对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
【答案】ABC
【解析】因为，且，
所以若，则，故A正确，
若，则,则，故B正确;
，，或，则，故C正确，
若，，则，，
或，故D错误.
故选：ABC
3．（2023北京）对于集合，定义，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
4．（2022秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16B．9C．8D．4
【答案】B
【解析】由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
5．（2023·上海）集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（ ）
A．32个B．16个C．8个D．4个
【答案】B
【解析】由题知各有8个元素,且有6个元素,
设,且
,
则画图如下:
因为,
所以
所以集合中至少有,6个元素,
最多有,10个元素,
只需求出的子集,
在每个子集中加入6个元素,即可得集合,
所以集合的个数,即是的子集的个数个.
故选:B
6．（2022秋·北京·高一北京市第五中学校考阶段练习）对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集”
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(3)求证：集合不是和谐集．
【答案】(1)不是“和谐集”，理由见解析，
(2)是“和谐集”，理由见解析，
(3)证明见解析.
【解析】（1）集合不是“和谐集”，理由如下：
对于集合，当去掉元素3时，剩余元素之和为7，不能分为两个交集这空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”，
（2）集合是“和谐集”，理由如下：
当去掉元素1时，有，
当去掉元素3时，有，
当去掉元素5时，有，
当去掉元素7时，有，
当去掉元素9时，有，
当去掉元素11时，有，
当去掉元素13时，有，
所以集合是“和谐集”，
（3）证明：假设集合是“和谐集”，
不妨设，
则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
所以有①，或②，
也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
所以有③，或④，
由①③，得，矛盾，
由①④，得，矛盾，
由②③，得，矛盾，
由②④，得，矛盾，
所以假设不成立，
所以集合不是和谐集.
7．（2022秋·高一校考单元测试）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
【答案】(1)集合都是封闭集，理由见解析；
(2)命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；
(3)见解析.
【解析】（1）解：对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，，，
所以集合是封闭集；
（2）解：对命题：令，
则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故正确；
（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且
所以，
假设是封闭集，
由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，
又因为，
所以不是封闭集.
得证.
8．（2023·浙江温州）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.
设集合 ，集合.
(1)若集合B的子集有2个，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）集合B的子集有2个，集合B元素个数为1.
，即
解得：
（2）选①：集合
，
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有 ，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数的取值范围是
选②：集合，
，
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有 ，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数的取值范围是
选③：集合，
，
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有 ，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数的取值范围是
9．（2022秋·北京）对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合；
(2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：.
【答案】(1)不是闭集合，是闭集合
(2)不一定，理由见解析
(3)证明详见解析
【解析】（1）对于集合，，但，所以不是闭集合.
对于集合，任取，设，
则，，所以，
，，所以，
所以是闭集合.
（2）不一定，理由如下：
令，，
同理（1）可证得是闭集合，
，但，不是闭集合.
（3）反证法：
若，
因为闭集合满足，存在，则.
同理，因为闭集合满足，存在，则.
因为，所以或.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
综上所述，存在，使得，即.